Trigonometrie: Darstellung des Sinus

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Trigonometrie: Darstellung des Sinus
Edit (mY+): Wähle bitte ordentliche Titel. Anfängerfagen sind viele hier!

Hallo,

Ich lese mich gerade wieder in dieses Thema ein.

Ich habe ein fundamentales Verständnisproblem:

Am Einheitskreis ist

Die beschriebene Strecke ist dabei die Gegenkathete des Dreiecks.


Nun aber die Formel:



aber = Gegenkathete = 0,55 cm??
Beim Einheitskreis ist es auch der Fall, weil die H 1 ist, aber ansonsten ist es doch nicht der Fall dass = Gegenkathete? Ansonsten bräuchten wir ja diese Formel nicht.

lg
10001000Nick1 Auf diesen Beitrag antworten »

Lass mal lieber die Einheit cm weg. Wir hatten einen Einheitskreis mit Radius 1dm, da wären das dann 0,55 dm. Die Einheit muss also nicht immer cm sein. Schreib lieber LE (Längeneinheiten).

Der Sinus ist nicht immer die Gegenkathete. Das gilt nur, wenn die Hypotenuse 1LE lang ist. Sonst muss man die Formel nehmen, die du geschrieben hast. Eigentlich ist der Einheitskreis nur ein Spezialfall dieser Formel. Der Nenner ist dann eben 1 und fällt deswegen weg.
 
 
Tipso Auf diesen Beitrag antworten »

Damit endet mein Verständnisproblem aber nicht.

In Bezug zu Alpha istdie gleiche Strecke die die Gegenkathete darstellt.

Also müsstesein.

sin\alpha ist doch eine Strecke mit dem Bezugspunkt.

lg
10001000Nick1 Auf diesen Beitrag antworten »

Was genau ist jetzt deine Frage?
Im Einheitskreis ist die Hypothenuse 1. Mit der allgemeinen Formel erhält man dann Also ist im Einheitskreis Aber wenn die Hypotenuse nicht 1 ist, dann gilt das nicht.


War das dein Problem? Sonst musst du noch mal fragen.
Tipso Auf diesen Beitrag antworten »

Nein, dies war nicht wirklich meine Frage.

beschreibt ja ein Flächenstück genauso wie cos\alpha.





Diese müssten dann auch immer so sein, egal wie ich H ändert, es ist aber nicht so..

lg
10001000Nick1 Auf diesen Beitrag antworten »

Nein.
Man sieht doch an der Formel: Wenn sich z.B. H verdoppelt, dann muss sich auch G verdoppeln, damit der Wert des Quotienten konstant bleibt. Das kannst du dir ja mal aufzeichnen mit einem Beispiel, dann siehst du das.
Tipso Auf diesen Beitrag antworten »

Soweit ist es mir klar.

Aber,eine Strecke, welche Strecke beschreibt es wenn H verdoppelt oder verdreifacht wird?

Nicht mehr die gleiche Strecke wie G, sondern?

lg
10001000Nick1 Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn H verdoppelt wird, ist Sinus keine Strecke mehr. Das geht wirklich nur, wenn die Hypotenuse 1 ist. Allgemein ist sin das Verhältnis von Gegenkathete zu Hypotenuse.
Tipso Auf diesen Beitrag antworten »

Genau dieses Wissen hat mir eben gefehlt.

Jedoch können wir die Strecke von sin jederzeit berechnen, wenn wir dessen Grad haben?

lg
10001000Nick1 Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, wenn du den Winkel hast, kannst du z.B. den Winkel im Einheitskreis einzeichnen und dann den Sinus einfach ablesen. Oder in den Taschenrechner eintippen.
Tipso Auf diesen Beitrag antworten »

Diese Strecke, die mir angibt, also der Winkel ist am Einheitskreis gleichgroß wie die Gegenkathete. Wenn wir uns nicht mehr am Einheitskreis befinden, ist diese eine andere Größe als die der G.

Stimmt dies so?

lg
10001000Nick1 Auf diesen Beitrag antworten »

Genau. Dann nimmst du G, und dividierst dann noch durch H. das Ergebnis ist dann der Sinus.

Jetzt verstanden? smile
Tipso Auf diesen Beitrag antworten »

Es ist dann eigentlich nicht mehr eine Strecke bzw. es ist eine Strecke ohne wirkliche Relevanz.

Ja, ich habe es verstanden. Danke für deine Hilfe!! Freude
10001000Nick1 Auf diesen Beitrag antworten »

Bitteschön! Wink
Tipso Auf diesen Beitrag antworten »

Zuletzt:

Es ist dann eigentlich nicht mehr eine Strecke bzw. es ist eine Strecke ohne wirkliche Relevanz.

Dies stimmt so?

lg Wink
10001000Nick1 Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, stimmt so.
Tipso Auf diesen Beitrag antworten »

Ich glaube, ich habe hier einen folgeschweren Fehler begangen.

Diese Sachlage gilt einfach für rechtw. Dreiecke. Aufgrund des Strahlensatzes ist dies ja doch so, dass mein

lg
Tipso Auf diesen Beitrag antworten »

Jetzt bin ich noch mehr verwirrt.

Ich habe ein Dreieck mit den Seiten a, b und c.

a = 1

b = 1,18

c = 1,55

aber





nur





Dies beweit eindeutig dass,

Die Definition vonbesagt aber:

sin ± die Länge der Kathete, die dem Winkel ± gegenüberliegt.
Damit ist auch die Gegenkathete definiert..?

lg
10001000Nick1 Auf diesen Beitrag antworten »

Was ist denn jetzt dein Problem?

G=1, H=1,55

Dann ist
Tipso Auf diesen Beitrag antworten »

Mein Problem ist die Frage, was den für eine Strecke ist.

Sie hat die gleiche Definition wie die Gegenkathete, ist diese auch unter der Bedingung, dass die Hypotenuse 1 ist. Wenn die H aber ungleich 1 ist, istungleich die G. Jedoch wird sie als diesselbe Strecke wie die G beschrieben.


Zitat:

die Länge der Kathete, die dem Winkel ± gegenüberliegt.
Damit ist auch die Gegenkathete definiert..?


Ps.
bin off., bis Morgen.
Tipso Auf diesen Beitrag antworten »

Ich hoffe ich konnte mich richtig ausdrücken.

lg
sulo Auf diesen Beitrag antworten »

Ich denke, dein Problem mag auch mit dieser Antwort begründet sein:

Zitat:
Original von 10001000Nick1
Also ist im Einheitskreis

Das ist natürlich Unfug.

ist nie die Gegenkathete, gibt dir vielmehr das Verhältnis von Gegenkathete zu Hypotenuse an.

Somit ist keine Strecke, sondern eine Zahl.

smile
Tipso Auf diesen Beitrag antworten »

Hi,

Diese Zahl setzt sich aus der G und H zusammen. Also das Verhältnis dieser Zahlen.

In jedem erklärenden Beitrag im Internet wird aber die G. blau gefärbt und es wird gesagt, dies ist die Strecke von ..

Etwas irritierend.

lg
sulo Auf diesen Beitrag antworten »

Nein, dann hast du die Beiträge falsch verstanden.

Und das hier ist auch nicht ganz richtig:
Zitat:
Diese Zahl setzt sich aus der G und H zusammen. Also das Verhältnis dieser Zahlen.

Es ist das Verhältnis der Streckenlängen, nicht das Verhältnis von Zahlen.
Die Strecken haben Einheiten, das ist der Unterschied.

hat keine Einheit.
Tipso Auf diesen Beitrag antworten »

Aber ich erhalte eine Zahl, diese Zahl wird dann auch in cm, m etc. angegeben?
Dopap Auf diesen Beitrag antworten »

nein, wie schon ausgeführt.

Im rechtwinkligen Dreieck ist der sinus das Verhältnis von 2 Strecken, also eine Zahl.

In einer Verallgemeinerung ist der Sinus der y-Wert eines Punktes auf dem Einheitskreis.

Und Koordinaten haben auch keine Längenangaben wenn man im ist.

Das ist aber alles nicht hinreichend für eine Definition, da noch keine mathematische Beziehung zwischen Winkel und dem Sinus gegeben ist.

erst die Definition über die Umkehrfunktion



liefert diese Beziehung.

Alternativ geht auch die Reihenentwicklung:



und den Winkel x im Bogenmass.

Wenn du auf dem Taschenrechner eingibst, erhältst du 0.5 als Zahl.
Tipso Auf diesen Beitrag antworten »

Hi,

Danke für die ausführliche Erklärung.

Demnach ist das Erklärungsmodell beim Einheitskreis Unfug, da es zwar die Strecke angibt, jedoch gilt dies nur im Einheitskreis.

http://www.youtube.com/watch?annotation_...Q&v=XkCkJT6bakc

1:06

Es ist diese Streckenlänge der Gegenkathete.

1:17
0,55 cm

1:22

Streckenlänge cos.

1:33
0,83 cm

Diese Angaben erhält man in fast jeder Lektüre zu dieser Thematik.

Ich will damit nicht sagen, dass die hier mir präsentierte Information falsch ist.
Ich versuche mein Verstänsnisproblem zu ergründen. Ich bin mir sogar sehr sicher, das der Fehler einfach nur bei mir liegt und sowohl das Video als auch die Beiträge in diesem Thread richtig sind.

lg
sulo Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, das ist Unsinn.

[attach]28614[/attach]
Er sagt tatsächlich wörtlich: "... dann ist der Sinus genau diese hier blau eingezeichnete Streckenlänge"
Nochmals: Das ist Unfug. Und es ist wirklich sehr ärgerlich, dass so etwas verbreitet wird und Verwirrung stiftet. böse

Es hätte auf jeden Fall noch durch die Hypotenuse (im Video: 1 cm lang) geteilt werden müssen.

Die richtige Angabe lautet:

Allenfalls hätte man sagen können: Der Wert von entspricht der Länge der Gegenkathete.
Aber eben nicht, dass der Sinus die Streckenlänge ist.

Somit ist die Erklärung am Einheitskreis nur dann falsch, wenn darauf verzichtet wird, durch die Hypotenuse zu teilen.
Da sie die Länge 1 cm hat, ändert sich die Zahl nicht, aber die Einheiten kürzen sich weg, und das ist essentiell wichtig.

Man sieht, dass es meist sinnvoll ist, auf die (in den Rechnungen gerne weggelassenen) Einheiten zu achten.

smile
Tipso Auf diesen Beitrag antworten »

Hi,

Zitat:
Man sieht, dass es meist sinnvoll ist, auf die (in den Rechnungen gerne weggelassenen) Einheiten zu achten.


Verstehe ich nicht ganz.


Danke für deine Hilfe.
sulo Auf diesen Beitrag antworten »

Ich meine damit, dass einem die Einheiten anzeigen können, ob man mit seinen Rechnungen überhaupt richtig liegt.

Hier ist es so, dass der Sinus grundsätzlich keine Einheit hat, also muss sich die Längeneinheit wegkürzen - eben gerade weil die Gegenkathete durch die Hypotenuse geteilt wird, und das immer!

Alle anderen Behauptungen sind Unfug und du kannst sie getrost vergessen.

smile
Tipso Auf diesen Beitrag antworten »

Alles klar, danke.

lg
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Tipso
Demnach ist das Erklärungsmodell beim Einheitskreis Unfug, da es zwar die Strecke angibt, jedoch gilt dies nur im Einheitskreis.

http://www.youtube.com/watch?annotation_...Q&v=XkCkJT6bakc

Das Video habe ich mir nicht angesehen, aber grundsätzlich ist die Definition des Sinus als Länge der Gegenkathete im Einheitskreis durchaus sinnvoll. Mit geometrischen Basiskenntnissen zur Ähnlichkeit - daran schien es hier zu mangeln - sollte dann unmittelbar klar sein, dass diese Definition dann die Eigenschaft "Sinus = Gegenkathete / Hypotenuse" im allgemeinen rechtwinkligen Dreieck zur Folge hat. Dafür sollte man eigentlich nicht drei Threadseiten brauchen, aber Ende gut, alles gut. Augenzwinkern
Tipso Auf diesen Beitrag antworten »

http://www.mathe-online.at/mathint/wfun/i.html


...
Eine weitere Frage zu Höhen bzw. Tiefenwinkel.

Was bedeutet über dem Höhen bzw. unter dem Höhenwinkel?
Wo ist hier der genaue Unterschied?


lg
sulo Auf diesen Beitrag antworten »

Das hast du missverstanden.

Man sagt: Man sieht etwas unter einem Winkel von xy Grad.

Wenn es ein Höhenwinkel ist, sieht man es halt unter dem Höhenwinkel.

Das bedeutet nicht, dass unter (oder über) dem Winkel etwas ist. Augenzwinkern
Tipso Auf diesen Beitrag antworten »

Achso,

Unter Höhenwinkel weil über nicht geht und ober einem Tiefenwinkel weil ober nicht geht.

lg
sulo Auf diesen Beitrag antworten »

Wie kommst du auf "ober einem Tiefenwinkel"?

Diese Formulierung gibt es nicht.

Man sagt: "unter einem Tiefenwinkel von ...."

Du sagst ja auch: Das Auto fährt mit 50 km/h durch die Stadt.
Da fragst du ja auch nicht, warum es nicht heißt: Das Auto fährt ohne 50 km/h durch die Stadt.

Anderes Beispiel: Man sagt: Ich denke über etwas nach und eben nicht: Ich denke unter etwas nach.

Die Präpositionen sind halt so gewählt, fertig.


Ich schließe hier, da wir eine ähnliche Fragestellung dort besprechen: Trigonometrie - Textaufgabe - 5
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