Konvergenz reihe2

18.02.2013, 00:06

rh21

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Konvergenz reihe2

Meine Frage:
HAllo ich habe bei einer weiteren Aufgabe probleme:

Ich muss wieder entscheiden ob Konvergnez oder Divergenz vorliegt:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=2}^\infty \frac{1}{\sqrt{n^2 -1} } \end{eqnarray*}$

Wie gehe ich hier vor?

Eine Majorante könnte 1/n sein ?

Meine Ideen:
keine

18.02.2013, 00:13

LonZealot

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$\begin{eqnarray*} \frac{1}{n} \end{eqnarray*}$ klingt schonmal gut, falls damit $\begin{eqnarray*} \sum_{n=2}^\infty \frac{1}{n} \end{eqnarray*}$ gemeint ist, aber als Majorante wird es dir nicht viel nützen.

18.02.2013, 00:17

rh21

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Als Minorante wohl oder?

Aber wie gehe ich jetzt weiter vor?

18.02.2013, 00:20

LonZealot

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Ja, als Minorante. Nun musst du nach unten abschätzen, dies kannst du tun indem du den Nenner vergrößerst oder den Zähler verkleinerst.

18.02.2013, 00:24

rh21

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Meinst du es so ?

1/n^2 ?

18.02.2013, 00:28

LonZealot

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Nein, das ist schon zu stark abgeschätzt, denn $\begin{eqnarray*} \sum_{n=2}^\infty \frac{1}{n^2} \end{eqnarray*}$ ist konvergent.

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18.02.2013, 00:31

rh21

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Wieso reicht den eigentlich nicht :

1/n ?

Kann ich es so machen:

1/n+1 ?????

18.02.2013, 00:36

LonZealot

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$\begin{eqnarray*} \sum_{n=2}^\infty%20\frac{1}{n} \end{eqnarray*}$ reicht natürlich als Abschätzung, aber ich würde da noch einen Zwischenschritt einfügen.

18.02.2013, 00:37

rh21

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Was für ein zwischenschritt?

18.02.2013, 00:41

LonZealot

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$\begin{eqnarray*} \sum_{n=2}^\infty\frac{1}{\sqrt{n^2-1}} \geq \sum_{n=2}^\infty\frac{1}{\sqrt{n^2}} = \sum_{n=2}^\infty\frac{1}{n} \end{eqnarray*}$

18.02.2013, 00:45

rh21

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Ah ok . Aber muss ich eigentlich noch was machen oder bin ich fertig?

18.02.2013, 00:49

LonZealot

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Du sollst entscheiden ob $\begin{eqnarray*} \sum_{n=2}^\infty\frac{1}{\sqrt{n^2-1}} \end{eqnarray*}$ konvergiert oder divergiert.

Diese Reihe hast du mit $\begin{eqnarray*} \sum_{n=2}^\infty\frac{1}{n} \end{eqnarray*}$ nach unten abgeschätzt und von $\begin{eqnarray*} \sum_{n=2}^\infty\frac{1}{n} \end{eqnarray*}$ weißt du, dass es divergiert (hoffe ich zumindestens).

Sag du mir ob du fertig bist.

18.02.2013, 00:52

rh21

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Eigentlich schon weil die Reihe hat eine minorante also konvergiert sie oder?

18.02.2013, 01:01

LonZealot

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Zitat:

Original von rh21
Eigentlich schon weil die Reihe hat eine minorante also konvergiert sie oder?

Nein.

Es gilt : $\begin{eqnarray*} \sum_{n=2}^\infty\frac{1}{\sqrt{n^2-1}} \geq \sum_{n=2}^\infty\frac{1}{n} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \sum_{n=2}^\infty\frac{1}{n} \end{eqnarray*}$ ist bestimmt divergent, d.h. $\begin{eqnarray*} \sum_{n=2}^\infty\frac{1}{n}=\infty \end{eqnarray*}$ . Kann $\begin{eqnarray*} \sum_{n=2}^\infty\frac{1}{\sqrt{n^2-1}} \end{eqnarray*}$ dann konvergieren?

18.02.2013, 01:08

rh21

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Nein sie divergiert , weil ihre minorante eine harmonische Reihe ist oder?

18.02.2013, 01:10

LonZealot

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Ja, das ist richtig.

18.02.2013, 01:26

Mulder

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Zitat:

Original von LonZealot
Es gilt : $\begin{eqnarray*} \sum_{n=2}^\infty\frac{1}{\sqrt{n^2-1}} \geq \sum_{n=2}^\infty\frac{1}{n} \end{eqnarray*}$

Ich finde so eine Schreibweise in diesem Zusammenhang ja immer etwas unfein. Was da letztlich steht, ist sowas wie $\begin{eqnarray*} \infty \geq \infty \end{eqnarray*}$ . Was will uns das sagen? Augenzwinkern

Augenzwinkern

Ich weiß, gemeint ist natürlich wohl das richtige, aber da würde ich eher sowas sagen wie $\begin{eqnarray*} \sum \frac 1 n \end{eqnarray*}$ divergiert und wegen $\begin{eqnarray*} \frac{1}{\sqrt{n^2-1}} \geq \frac 1 n \end{eqnarray*}$ divergiert auch $\begin{eqnarray*} \sum \frac{1}{\sqrt{n^2-1}} \end{eqnarray*}$ . Oder halt erstmal nur die n-te Partialsumme hinschreiben oder wie auch immer. Augenzwinkern

Augenzwinkern

18.02.2013, 01:30

LonZealot

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Oh, da hast du natürlich recht, das ist vorallem schlecht wenn die Abschätzung nur für fast alle n gilt. Dies ist zum Glück hier nicht der Fall.

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