Vereinfachung eines Terms mit Winkelfunktionen (Arkuscosinus, Cosinus)

18.02.2013, 01:01

felix.l.

Vereinfachung eines Terms mit Winkelfunktionen (Arkuscosinus, Cosinus)

Meine Frage:
Hallo,

ich habe ein Problem mit folgendem Term:

$\begin{eqnarray*} cos\left[arccos\left(\frac{A_{1}^2+C_{2}^2-C_{3}^2}{2A_{1}C_{2}}\right) + arccos\left(\frac{C_{1}^2+C_{2}^2-A_{2}^2}{2C_{1}C_{2}}\right)\right] \end{eqnarray*}$

Lässt sich dieser durch Anwendung einer bisher von mir noch nicht bedachten Methode vereinfachen? Additionstheoreme haben mir nicht weitergeholfen...

Meine Ideen:
Mein erster Ansatz war die Anwendung des Additionstheorems:

$\begin{eqnarray*} cos(\alpha+\beta)=cos(\alpha)cos(\beta)-sin(\alpha)sin(\beta) \end{eqnarray*}$

Jedoch verlängert sich der Term hier lediglich und wird nicht vereinfacht!

Für Anregungen und Hilfe wäre ich sehr dankbar!
Vielen Dank,
Gruß
Felix

18.02.2013, 01:29

10001000Nick1

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Vielleicht helfen dir ja folgende Formeln weiter:

$\begin{eqnarray*} \arccos(x)+\arccos(y)=\arccos\left(xy-\sqrt{1-x^2}\sqrt{1-y^2}\right),~falls~x+y\geq 0\quad und \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \arccos(x)+\arccos(y)=2\pi-\arccos\left(xy-\sqrt{1-x^2}\sqrt{1-y^2}\right),~falls~x+y<0. \end{eqnarray*}$

18.02.2013, 01:31

felix.l.

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RE: Vereinfachung eines Terms mit Winkelfunktionen (Arkuscosinus, Cosinus)
Ich bin, das hatte ich vergessen, soweit gekommen, dass ich für den Term mittels Additionstheorem schreiben kann:

$\begin{eqnarray*} cos(\alpha+\beta)=cos(arccos(x_1))cos(arccos(x_2))-sin(arccos(x_1))sin(arccos(x_2)) \end{eqnarray*}$
entsprechend:

$\begin{eqnarray*} cos(\alpha+\beta)=x_1 x_2 -sin(arccos(x_1))sin(arccos(x_2)) \end{eqnarray*}$

(mit der Vorgabe natürlich:
$\begin{eqnarray*} x_1=(...Term1.Beitrag...); x_2=(...Term1.Beitrag...) \end{eqnarray*}$ )

Aber eben an diesem Sinus vom Arkuscosinus bin ich gescheitert.

Viele Grüße
Felix

18.02.2013, 01:38

felix.l.

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Zitat:

Original von 10001000Nick1
Vielleicht helfen dir ja folgende Formeln weiter:
.....

Ich werde es mal probieren, das sollte die Sache deutlich vereinfachen, vielen Dank! Woher kommen denn die Wurzelterme?

Viele Grüße
Felix

18.02.2013, 01:42

10001000Nick1

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Keine Ahnung, steht so bei Wikipedia. Ich weiß nur, wie man die Formeln vielleicht beweisen könnte, aber wie man die herleitet, keine Ahnung.

18.02.2013, 01:44

felix.l.