Slater-Bedingung nachweisen [Konvexe Optimierung]

18.02.2013, 01:05

wdposchmann

Slater-Bedingung nachweisen [Konvexe Optimierung]

Hallo,

ich habe eine Frage zur konvexen Optimierung. Und zwar erfüllt ein Optimierungsproblem der Form

$\begin{eqnarray*} \min c^T x \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \mbox{s.t. } Ax \leq b \end{eqnarray*}$

ja die Slater Bedingung, wenn die Ungleichungsnebenbedingungen konvex sind und es ein $\begin{eqnarray*} x^* \in \mathbb{R}^n \end{eqnarray*}$ gibt mit

$\begin{eqnarray*} g_i(x^*) < 0 \quad \forall i = 1,...,m \end{eqnarray*}$

(wobei die g_i die m Ungleichungsnebenbedingungen sind). Das ist soweit klar. Was passiert nun aber, wenn eine bzw. mehrere Gleichungsnebenbedingungen auftauchen? Denn für diese ist die Slater-Bedingung ja nicht definiert. Jedoch habe ich im Internet eine Aufgabe gefunden (inkl. einer Gleichungsnebenbedingung), bei der explizit verlangt wird, die Slater-Bedingung nachzuweisen.

Meine erste Idee war, die Gleichung in zwei Ungleichungen umzuschreiben. Für den Konvexitätsnachweis geht das noch aber danach wird man ja nie ein $\begin{eqnarray*} x^* \in \mathbb{R}^n \end{eqnarray*}$ finden mit

$\begin{eqnarray*} h(x^*) < 0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} -h(x^*) < 0 \end{eqnarray*}$

(h ist hier die Gleichungsnebenbedingung).

Ich hoffe, mir kann da jemand helfen.

Viele Grüße

18.02.2013, 04:21

Mystic

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RE: Slater-Bedingung nachweisen [Konvexe Optimierung]

Zitat:

Original von wdposchmann
Meine erste Idee war, die Gleichung in zwei Ungleichungen umzuschreiben. Für den Konvexitätsnachweis geht das noch aber danach wird man ja nie ein $\begin{eqnarray*} x^* \in \mathbb{R}^n \end{eqnarray*}$ finden mit

$\begin{eqnarray*} h(x^*) < 0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} -h(x^*) < 0 \end{eqnarray*}$

Hm, natürlich eine Schnapsidee, denn für die dazu äquivalente Bedingung

$\begin{eqnarray*} h(x^*) < 0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} h(x^*) >0 \end{eqnarray*}$

würde man Zahlen brauchen, welche sowohl positiv als auch negativ sind... Meines Wissens nach gibt's die nicht, aber vielleicht weißt du es besser? Big Laugh

Nein, Spaß beiseite, die Slaterbedingung lautet einfach, dass es für die Vektorfunktionen g(x) und h(x) einen Punkt $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ gibt, sodass

$\begin{eqnarray*} g(x_0)<0, h(x_0)=0 \end{eqnarray*}$

Die nichtlineare Optimierung ist schon kompliziert genug, man muss sie nicht mit Gewalt noch komplizierter machen... Big Laugh

18.02.2013, 13:41

wdposchmann

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RE: Slater-Bedingung nachweisen [Konvexe Optimierung]
Hey, vielen Dank!

Ja mir war bewusst, dass meine Schnapsidee am Ende zu nichts führen würde aber ich denke, man sollte trotzdem immer seine Denkansätze posten, das macht es ja auch den Leuten die antworten einfacher zu verstehen, wo das Problem liegt. Hoff ich jedenfalls ;-)

Also danke noch mal und viele Grüße

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