Schnittgerade zweier Ebenen bestimmen (Parameterdarstellung)

18.02.2013, 16:07	Hakmendin	Auf diesen Beitrag antworten »
Schnittgerade zweier Ebenen bestimmen (Parameterdarstellung) Meine Frage: Hallo liebe Community, ich muss folgende Aufgabe (Schnittgerade 2er Ebenen finden) lösen und hänge gerade irgendwie fest. Es geht um folgende Ebenen: $\begin{eqnarray} E1 = h1 = \begin{pmatrix} -4 \\ 3 \\ 5 \end{pmatrix} + \mu \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} + \omega * \begin{pmatrix} -2 \\ -2 \\ -2 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} E2 = h2 = \begin{pmatrix} 0 \\ -2 \\ 7 \end{pmatrix} + \lambda * \begin{pmatrix} 0 \\ 5 \\ 1 \end{pmatrix} + \phi * \begin{pmatrix} 4 \\ 0 \\ -3 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Entsprechend habe ich erstmal gleichgesetzt: $\begin{eqnarray} x: -4 + 1 * \mu - 2 * \omega = 0 + 0 * \lambda + 4 * \phi<br /> y: 3 + 2 * \mu - 2 * \omega = -2 + 0 * \lambda + 0 * \phi<br /> z: 5 + 3 * \mu - 2 * \omega = 7 + 1 * \lambda - 3 * \phi<br /> \end{eqnarray}$ Daraus ergibt sich dann: $\begin{eqnarray} x: -4 + \mu - 2 * \omega = 4 * \phi \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} y: 3 + 2 * \mu - 2 * \omega = -2 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} z: 5 + 3 * \mu - 2 * \omega = 7 + 1 * \lambda - 3 * \phi \end{eqnarray}$ Meine Ideen:* So, nun habe ich immernoch 4 Unbekannte und sehe irgendwie keinen Weg eine zu eleminieren, um es dann in E1 / E2 einzusetzen. Stehe irgendwie auf dem Schlauch und übersehe sicher das einfachste vom einfachsten. Kann mir wer helfen? Vielen Dank schonmal!
18.02.2013, 16:19	Helferlein	Auf diesen Beitrag antworten »
Einfacher ist die Berechnung über die Koordinatenform. Falls ihr die noch nicht hattet, ist dein Ansatz richtig. Du musst dann drei der vier Variablen mittels Gauß eliminieren.
18.02.2013, 17:49	Hakmendin	Auf diesen Beitrag antworten »
Hab jetzt folgendes rausbekommen mittels Gauß (Ein 3x4 LGS): $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1 & -2 & 0 & -4 \| 4 \\ 2 & -2 & 0 & .......0 \| -5 \\ 3 & -2 & 1 & ...3\| 2 \end{pmatrix} \Rightarrow \lambda = \phi + 16 \end{eqnarray}$ ... $\begin{eqnarray} \mu \end{eqnarray}$ ... $\begin{eqnarray} \omega \end{eqnarray}$ ... $\begin{eqnarray} \lambda \end{eqnarray}$ ... $\begin{eqnarray} \phi \end{eqnarray}$ Ich hoffe, dass ist soweit richtig? PS: Die Punkte sind nur zur Formatierung da und danke Helferlein!
18.02.2013, 17:54	Cheftheoretiker	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Elimination mittels Gauß ist nicht unbedingt nötig. Man stellt einfach zwei LGS auf und bestimmt selbst einen Parameter und löst anschließend das LGS mit drei Gleichungen und drei unbekannten. Anschließend stellt man das selbe LGS erneut auf und wählt einen anderen Parameter aus und bestimmt anschließend erneut die Lösung des LGS. So erhält man zwei Punkte und kann anhand dieser Punkte eine Geradengleichung aufstellen. Das Verfahren ist aber wohl nur zeitsparend wenn man einen Taschenrechner benutzen darf der 3x3 Matrizen lösen kann. So, ich bin auch wieder rauß!
18.02.2013, 19:26	Helferlein	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Lösung wäre richtig, wenn die Ausgangsmatrix gestimmt hätte. Du hast aber in der zweiten Zeile die $\begin{eqnarray} 5\lambda \end{eqnarray}$ unterschlagen und in der dritten das $\begin{eqnarray} \lambda \end{eqnarray}$ mit dem falschen Vorzeichen auf die linke Seite gebracht.
19.02.2013, 14:35	Hakmendin	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, dass habe ich heute auch gemerkt, so ein Mist. Aber wenigstens habe ich die Logik dahinter verstanden. Danke nochmals
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