Polar coordinates

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18.02.2013, 16:26	Theend9219	Auf diesen Beitrag antworten »
Polar coordinates Sei $\begin{eqnarray} M:=\left\{ (x,y) \in \mathbb R : (x-1)^{2}+y^2 \leq 1\right\} \end{eqnarray}$ . Mithilfe von Polarkoordinaten berechne man das Integral: $\begin{eqnarray} I = \int_{M} \sqrt{(x^2+y^2)} d(x,y \end{eqnarray}$ ) Ich weiß, dass ich die Polarkoordinaten benötige für eine Parabel, leider habe ich im Internet nichts brauchbares (meine Einschätzung) gefunden. Kann mir da vielleicht jemand helfen? Meine Idee: $\begin{eqnarray} x = rcos(\phi) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} y = rsin(\phi) \end{eqnarray}$ also $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} x(r,\phi) =rcos(\phi) \\ y(r,\phi) = rsin(\phi) \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Dann würde ich jetzt über die Jakobi Matrix gehen: $\begin{eqnarray} J_{k} = \begin{pmatrix} cos(\phi) & -rsin(\phi)\\ sin(\phi) & rcos(\phi) \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Dann die Determinante (-auch Funktionaldeterminante genannt) berechnen. $\begin{eqnarray} det J_{k} =((cos(\phi)(rcos(\phi))-((sin(\phi)(-rsin(\phi)) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} det J_{k} = r(sin^2(\phi)+cos^2(\phi)) \end{eqnarray}$ Nun einsetzen in die Transformationsformel. $\begin{eqnarray} \int_{M} \sqrt{g(u)} du \end{eqnarray}$ Dabei beschreibe g(u) die determinante der Gramschen Matrix (Funktionaldeterminante) Es folgt: $\begin{eqnarray} \int_{M} \sqrt{r(sin^2(\phi)+cos^2(\phi))} dr \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \int_{M} \sqrt{r(sin^2(\phi)+cos^2(\phi))} dr = \frac{2r^{\frac{3}{2}}}{3} + c \end{eqnarray*}$ falls es richtig ist, wie fahre ich dann fort? LG Theend9219 Quelle(Bild): wolframalpha.com
18.02.2013, 16:42	aleos	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Polar coordinates Ich an deiner Stelle würde jetzt überlegen, wie schaut denn die Menge M im 2dim aus? Wenn du das weißt, kannst du auch die Grenzen an die Polarkoordinaten anpassen. Falls das falsch ist, ich lasse mich gerne belehren :P
18.02.2013, 16:46	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Polar coordinates Ich bezweifle ja, dass $\begin{eqnarray} M \end{eqnarray}$ wirklich so aussehen soll. Ist das $\begin{eqnarray} y \end{eqnarray}$ in der Ungleichung wirklich nicht quadriert? Edit: Und sowieso müsste es $\begin{eqnarray} \mathbb R^2 \end{eqnarray}$ statt $\begin{eqnarray} \mathbb R \end{eqnarray}$ heißen.
18.02.2013, 17:02	Theend9219	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Polar coordinates Vielen Dank für eure Antworten... Die Aufgabe ist genau aus dem Tutorium übernommen .. weiß auch nicht ..
18.02.2013, 17:02	Theend9219	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Polar coordinates und das R ist ein tippfehler sry
18.02.2013, 17:06	aleos	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Polar coordinates Offensichtlich handelt es sich doch bei $\begin{eqnarray} (x-1)² + y² \leq 1 \end{eqnarray}$ um einen Kreis. Was hat denn dieser Kreis für Radius?
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18.02.2013, 17:14	Theend9219	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Polar coordinates 1 ? weil $\begin{eqnarray} (x-1)^2+y^2 \leq R \end{eqnarray}$
18.02.2013, 17:27	aleos	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Polar coordinates Ich glaube wenn dann: $\begin{eqnarray} (x-1)² + y² \leq r² \end{eqnarray}$ Der Radius ist aber 1. Und wenn du jetzt die zu integrierende Funktion transformierst in Polarkoordinaten, was musst du beachten? Oder hast du überhaupt eine Idee?
18.02.2013, 17:32	Theend9219	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Polar coordinates Schau mal am Anfang des Threads da steht schon mein Lösungsweg
18.02.2013, 17:42	aleos	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Polar coordinates Ehrlich gesagt hätte ich das ganz anders gelöst. Es ist bekannt (das setze ich mal voraus), dass der Korrekturfaktor beim Integral über Polarkoordinaten das r ist. Außerdem weißt du, dass die zu integriereden Menge einfach ein Kreis um eins nach rechts verschoben ist. Macht aber für die Fläche ja keinen Unterschied, soweit mein Verständnis. Dann integrierst du einfach so: $\begin{eqnarray} \int_M \sqrt{x²+y²} d(x,y) = \int\limits_{(0,2\pi)x(0,1)} r² dr d\phi \end{eqnarray}$
18.02.2013, 18:09	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Polar coordinates Der Flächeninhalt ist zwar translationsinvariant, der Integrand in diesem Fall aber nicht.
18.02.2013, 18:28	aleos	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Polar coordinates Hmm, dann weiß ich auch nicht wie das gehen soll. Sorry.
18.02.2013, 19:10	Theend9219	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Polar coordinates Hallo Che Netzer, heißt translationsvarianz, dass sich die Y-Werte nicht ändern sondern nur die X werte?
18.02.2013, 21:01	aleos	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Polar coordinates @Theend9219 Versuch mal das ohne Polarkoordinaten auszurechnen. Ich weiß das ist sehr hässlich, aber dann hätten wir ein Ergebnis an das wir uns orientieren können. Ich versuchs auch mal gleich.
19.02.2013, 12:01	zyko	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Polar coordinates Nach der Substitution musst du auch die Integrationsgrenzen anpassen. Das neue Integral lautet $\begin{eqnarray} \int_{-\frac{\pi}{2}}^{+\frac{\pi}{2}}\int_0^{2\cos(\phi)}r\cdot r dr d\phi \end{eqnarray}$ Im Integranden stammt ein r vom alten Integranden und das zweite von der Determinante. Wenn du dir eine Zeichnung der Integrationsmenge machst, dann erkennst du, dass diese links den Nullpunkt berührt. Daraus folgt, dass für den Winkel gilt $\begin{eqnarray} -\frac{\pi}{2}\leq\phi\leq +\frac{\pi}{2} \end{eqnarray}$ aber r hängt von dem Winkel ab. Setze die Polarkoordinaten in deine Menge M ein. Da du die obere Grenze für r suchst, kannst du =1 setzen. Löse die entstehende $\begin{eqnarray} r, \phi \end{eqnarray}$ Gleichung nach r auf.
19.02.2013, 13:00	Theend9219	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Polar coordinates Dankeschön jetzt sind mir die Grenzen klar. Ich werds mal ausrechnen. Danke
19.02.2013, 13:08	Theend9219	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Polar coordinates So ich hab das mal gemacht: $\begin{eqnarray} (rcos(\phi)-1)^{2}+(rsin(\phi))^{2} = 1 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} r^{2} = 2rcos(\phi \end{eqnarray}$ ) $\begin{eqnarray} r= 2cos(\phi) \end{eqnarray}$ LG Und was setze ich nun für r im Integranten ein?
19.02.2013, 17:56	zyko	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Polar coordinates Siehe mein Beitrag von 12 Uhr. Überlege dir zwischen welchen Werten in Abhängigkeit von $\begin{eqnarray} \phi \end{eqnarray}$ der Abstand r zum Nullpunkt variiert.

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