Resolventenmenge bestimmen

18.02.2013, 17:08

kaffeenerd

Resolventenmenge bestimmen

Meine Frage:
betrachte den operator

$\begin{eqnarray*} A\colon\mathcal{C}([0,1];\mathbb{C})\to\mathcal{C}([0,1];\mathbb{C}), Af(x)=x\cdot f(x) \end{eqnarray*}$ .

bestimme die resolventenmenge

Meine Ideen:
also die resolventenmenge ist ja

$\begin{eqnarray*} \rho(A)=\left\{\lambda\in\mathbb{K}|(\lambda\mbox{ id}-A)^{-1}\mbox{ existiert in }\mathcal{L}(\mathcal{C}([0,1];\mathbb{C}),\mathcal{C}([0,1];\mathbb{C}))\right\} \end{eqnarray*}$

ich kenne es so das man sich mal überlegt wie denn die inverse aussehen müsste wenn sie denn existiert, da hab ich das sie gegeben sein müsste durch

$\begin{eqnarray*} f\mapsto\frac{f}{(\lambda-x)} \end{eqnarray*}$ wobei die definition nur sinnvoll ist für $\begin{eqnarray*} \lambda\notin [0,1] \end{eqnarray*}$ . also liegt wohl die vermutung nahe das die resolventenmenge aus $\begin{eqnarray*} \mathbb{K}\setminus [0,1] \end{eqnarray*}$ besteht

aber man muss ja noch zeigen das es sich echt um die inverse handelt und das sie linear und stetig ist!

also das die inverse so wie ich sie definiert habe linear ist, sieht man so:

$\begin{eqnarray*} (\lambda\mbox{ id}-A)(f+g)(x)=\frac{(f+g)(x)}{\lambda-x}=\frac{f(x)+g(x)}{\lambda-x}=\frac{f(x)}{\lambda-x}+\frac{g(x)}{\lambda-x}=(\lambda\mbox{ id}-A)(f)(x)+(\lambda\mbox{ id}-A)(g)(x) \end{eqnarray*}$

also $\begin{eqnarray*} (\lambda\mbox{ id}-A)^{-1}(f+g)=(\lambda\mbox{ id}-A)^{-1}(f)+(\lambda\mbox{ id}-A)^{-1}(g) \end{eqnarray*}$

und

$\begin{eqnarray*} (\lambda\mbox{ id}-A)^{-1}(\mu f)(x)=\frac{\mu f(x)}{\lambda-x}=\mu\frac{f(x)}{\lambda-x}=\mu (\lambda\mbox{ id}-A)^{-1}(f)(x) \end{eqnarray*}$ ,

also $\begin{eqnarray*} (\lambda\mbox{ id}-A)(\mu f)=\mu (\lambda\mbox{ id}-A)^{-1}(f) \end{eqnarray*}$

das es sich wirklich um die inverse handelt sieht man so indem man ausnutzt das $\begin{eqnarray*} (\lambda\mbox{ id}-A) \end{eqnarray*}$ und - wie gezeigt - $\begin{eqnarray*} (\lambda\mbox{ id}-A)^{-1} \end{eqnarray*}$ linear sind:

$\begin{eqnarray*} ((\lambda\mbox{ id}-A)\circ (\lambda\mbox{ id}-A)^{-1})(f)(x)=(\lambda\mbox{ id}-A)\left(\frac{f(x)}{\lambda-x}\right)=\frac{1}{\lambda-x}\cdot((\lambda-x)f(x))=f(x) \end{eqnarray*}$ und

$\begin{eqnarray*} ((\lambda\mbox{ id}-A)^{-1}\circ (\lambda\mbox{ id}-A))(f)(x)=(\lambda-x)\cdot\frac{f(x)}{\lambda-x}=f(x) \end{eqnarray*}$

so jetzt noch zeigen das die inverse die ich definiert habe auch stetig ist ( bzw. beschränkt, weil linear). kann man es so machen??

$\begin{eqnarray*} \lVert (\lambda\mbox{ id}-A)^{-1}f\rVert_{\infty}=\sup\limits_{x\in [0,1]}\frac{1}{\lvert\lambda -x\rvert}\cdot\lVert f\rVert_{\infty} \end{eqnarray*}$

ist es das schon?

18.02.2013, 17:13

RavenOnJ

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Es gehört zwar nicht direkt zur Sache, ist aber auch wichtig: "dass" (z.B. in "also das die inverse so wie ich sie definiert habe linear ist") wird mit Doppel-s geschrieben. Außerdem kommt vor dem "dass" fast immer ein Komma. Da du das systematisch falsch gemacht hast, ist es offenbar kein Flüchtigkeitsfehler gewesen.

18.02.2013, 17:15

kaffeenerd

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ja danke

jetzt denken alle es ist ein betreuter thread nur weil du dir die ünütze bemerkung nicht verkneifen kannst...
unglücklich

18.02.2013, 17:17

RavenOnJ

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Diese Bemerkung ist alles andere als unnütz. Das wirst du spätestens in deiner Bachelor-Arbeit merken.

18.02.2013, 17:19

RavenOnJ

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Was ist außerdem ein "betreuter Thread"? So was wie "betreutes Wohnen"? Ach, du meinst, jetzt denken alle, es wäre schon ein Betreuer anwesend. Dann sage ich mal explizit:

Es darf gerne jemand anders übernehmen!

18.02.2013, 17:20

kaffeenerd

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ey kanst du mal bitte aufhören meinen thread mit kommentaren zur deutschen sprache vollzuspamen? wenn ich fragen dazu habe, besuche ich andere seiten, aber sicher nicht das matheboard.

by the way: erzähl mir bitte nichts davon, wann ich spätestens meine rechtschreibfehler merken werde. du hast ja keine ahnung. meine bachelorarbeit habe ich z.b. längst hinter mir.

18.02.2013, 17:22

RavenOnJ

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Zitat:

Original von kaffeenerd

by the way: erzähl mir bitte nichts davon, wann ich spätestens meine rechtschreibfehler merken werde. du hast ja keine ahnung. meine bachelorarbeit habe ich z.b. längst hinter mir.

um so schlimmer! Abgesehen davon sind meine Kommentare kein Spam. Wenn du dich nicht eines anderen Tons befleißigst, wird dir vermutlich niemand sonst antworten, da ausfallende Bemerkungen hier alles andere als gern gesehen werden.

18.02.2013, 17:23

kaffeenerd

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ach, lass mich einfach in ruhe.

zurück zur sache - das heißt: Zu meinem Eröffnungsbeitrag.

Wer kann mir bitte ernsthaft helfen?

18.02.2013, 17:30

10001000Nick1

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Tut mir leid, dass ich mich jetzt mal kurz einmischen muss.

Zitat:

Original von RavenOnJ

um so schlimmer! Abgesehen davon sind meine Kommentare kein Spam.

RavenOnJ, achte erst mal auf deine eigene Rechtschreibung, bevor du hier andere kritisierst. "Um" steht am Satzanfang und wird deswegen groß geschrieben.

18.02.2013, 17:33

RavenOnJ

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Zitat:

Original von 10001000Nick1
"Um" steht am Satzanfang und wird deswegen groß geschrieben.

Du Witzbold, glaubst du das weiß ich nicht? Willst du vielleicht auch noch flüchtige Buchstabendreher bemängeln? Ich habe auch nicht 100% korrektes Deutsch gefordert. Ich habe z.B. nichts über die ständig klein geschriebenen Satzanfänge des Threaderstellers geschrieben. Nur wenn jemand durchweg einen bestimmten Teil der Grammatik falsch verwendet, darf man ja wohl mal einen Hinweis geben.

18.02.2013, 18:18

Che Netzer

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RE: Resolventenmenge bestimmen
Meine Güte...
Um das mal klarzustellen:
Im Beitrag des Fragestellers sind klar Groß- und Kleinschreibung und Zeichnesetzung zu bemängeln.
Darauf kann man auch ruhig mal hinweisen.
Aber
a) sollte man sich als Korrigierter nicht dermaßen darüber aufregen und
b) sollte man als Korrigierender nicht so auf die Antwort reagieren.

Also zurück zur Frage:
Das passt eigentlich alles so, ich würde nur etwas mehr darauf eingehen, warum die Inverse für $\begin{eqnarray*} \lambda\in[0,1] \end{eqnarray*}$ keinen Sinn ergibt und warum sie sonst stetig ist, d.h. das hier ausbreiten:

Zitat:

Original von kaffeenerd
$\begin{eqnarray*} \lVert (\lambda\mbox{ id}-A)^{-1}f\rVert_{\infty}=\sup\limits_{x\in [0,1]}\frac{1}{\lvert\lambda -x\rvert}\cdot\lVert f\rVert_{\infty} \end{eqnarray*}$

Wobei das eigentlich eine Ungleichung sein müsste.

18.02.2013, 18:31

kaffeenerd

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1.) die definition macht für $\begin{eqnarray*} \lambda\in [0,1] \end{eqnarray*}$ keinen sinn weil man dann im nenner 0 stehen hätte --> undefiniuert

2.) ja es müsste eigentlich eine ungleichung sein

aber ich weiß nicht, wie man darauf kommt

18.02.2013, 18:49

Che Netzer

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Dann schreibe $\begin{eqnarray*} (\lambda\operatorname{id}-A)^{-1}f \end{eqnarray*}$ mal punktweise im Betrag auf, schreibe das mit zwei Faktoren und bilde für beide gesondert das Supremum.

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