Schreibweise Funktionen Lineare Unabhängigkeit

18.02.2013, 18:17	marcelecram	Auf diesen Beitrag antworten »
Schreibweise Funktionen Lineare Unabhängigkeit Meine Frage: Hallo zusammen, ich bin gerade dabei drei Funktionen auf Lineare Unabhängigkeit zu prüfen. An sich kein Problem, nur bin ich mir bei der korrekten Schreibweise gerade nicht mehr so sicher.. $\begin{eqnarray} f_1(x)=x \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} f_2(x)=x^3 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} f_3(x)=\|x^3\| \end{eqnarray}$ Einfaches Bsp.: $\begin{eqnarray} Intervall\left[-1,0\right) \end{eqnarray}$ Meine Ideen: Nunja, die Voraussetzung für Lineare Unabhängigkeit lautet ja folgendermaßen: $\begin{eqnarray} \lambda _1f_1+\lambda _2f_2+\lambda _3f_3\equiv 0 \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} \lambda _1,\lambda _2,\lambda _3= 0 \end{eqnarray}$ Kann ich dann aus folgender Annahme $\begin{eqnarray} \left(f_1 f_2 f_3\right)\begin{pmatrix} \lambda_1 \\ \lambda _2 \\ \lambda _3 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ auf folgendes (sinngemäße) Gleichungssystem schließen? $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} x & x^3 & \|x^3\| & & \\ 1 & 0 & 0 & \|0\|&f_1 \\ 0 & 1 & 0 & \|0\|&f_2 \\ 0&0&1&\|0\| &f_3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ oder müssen Spalten- und Zeilenbeschriftung geändert werden? Gruß Marcel
19.02.2013, 09:31	Mazze	Auf diesen Beitrag antworten »
Das macht alles insgesamt keinen Sinn so. Es ist immer wichtig sich genau klar zu machen was die Gleichung $\begin{eqnarray} \lambda _1f_1+\lambda _2f_2+\lambda _3f_3 = 0 \end{eqnarray}$ genau heißt. Was ist das hier für eine "0" ? Es ist stets der Nullvektor gemeint, sprich unsere "0" hier ist die Nullfunktion. Zwei Funktionen f und g auf dem Definitionsbereich D sind genau dann gleich, wenn für alle $\begin{eqnarray} x \in D \end{eqnarray}$ gilt, dass $\begin{eqnarray} f(x) = g(x) \end{eqnarray}$ ist. Das ergibt also für unser Problem: Wenn $\begin{eqnarray} \lambda _1f_1(x) +\lambda _2f_2(x)+\lambda _3f_3(x) = 0 \end{eqnarray}$ für alle $\begin{eqnarray} x \in[-1,0) \end{eqnarray}$ (0 ist Nullfunktion!) gilt, dann sind $\begin{eqnarray} f_1,f_2,f_3 \end{eqnarray}$ linear Unabhängig, wenn $\begin{eqnarray} \lambda_1 = \lambda_2 = \lambda_3 = 0 \end{eqnarray}$ folgt. Wähle 3 paarweise verschiedene Punkte des Definitionsbereiches und Stelle damit ein LGS auf. Beweise damit, dass die Vektoren linear unabhängig sind. Warum reicht es aus 3 Punkte zu wählen?
20.02.2013, 16:40	marcelecram	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo Mazze, danke für deine Antwort! Meiner Meinung reicht es, für x drei verschiedene Werte (innerhalb des Intervalls) einzusetzen und drei Gleichungen aufzustellen, weil ich die drei Unbekannten $\begin{eqnarray} \lambda _1,\lambda _2\lambda _3 \end{eqnarray}$ bestimmen möchte. Wenn ich ein GS aufstelle müsste im Falle einer Linearen Unabhängigkeit herauskommen, dass ich nur eine Lösung erhalte, nämlich $\begin{eqnarray} \lambda _1\wedge \lambda _2\wedge \lambda _3= 0 \end{eqnarray}$ . Bsp.: $\begin{eqnarray} x_1=-1,x_2=-\frac{3}{4},x_3=-\frac{1}{2} \end{eqnarray}$ Daraus resultiert dann folgende Überlegung: $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} -1 & -1 & 1 \\ -\frac{3}{4} & -\frac{27}{64} & \frac{27}{64} \\ -\frac{1}{2} & -\frac{1}{8} & \frac{1}{8} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \lambda_1 \\ \lambda _2 \\ \lambda _3 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Daraus ergibt sich das GS: $\begin{eqnarray} \begin{vmatrix} \lambda_1 & \lambda _2 & \lambda _3 &\\ -1 & -1 & 1&0 \\ -\frac{3}{4} & -\frac{27}{64} & \frac{27}{64}&0 \\ -\frac{1}{2} & -\frac{1}{8} & \frac{1}{8}&0 \end{vmatrix} \end{eqnarray}$ (Die Determinantenschreibweise habe ich nur zur besseren Übersicht des GSs gewählt) Folgendes habe ich dann rausbekommen: $\begin{eqnarray} \begin{vmatrix} \lambda_1 & \lambda _2 & \lambda _3 &\\ -1 & -1 & 1&0 \\ 0 & \frac{21}{64} & -\frac{21}{64}&0 \\ 0 & 0 & 0&0 \end{vmatrix} \end{eqnarray*}$ Was soll mir das Ergebnis jetzt aussagen? Habe ich das GS überhaupt richtig aufgestellt? Im genannten Intervall sind doch f2 und f3 voneinander linear unabhängig. Ich tue mich schwer daran, die Lineare Ab- bzw. Unabhängigkeit dieser drei Funktionen mithilfe eines GSs zu zeigen, darum wäre ich um eine Hilfestellung sehr froh und dankbar! Gibt es eine andere anschauliche Form des Beweises? Gruß Marcel
20.02.2013, 22:08	marcelecram	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, also das Thema kann geschlossen werden. Ich habe den Beweis ohne GS vollzogen, aber das sollte genügen (wenn man berücksichtigt, dass die Wronskische Determinante in der Vorlesung noch nicht behandelt wurde). Trotzdem nochmal vielen Dank an Mazze für den Hinweis zur richtigen Definition und seine Unterstützung! Gruß Marcel

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