Ableitung

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Ableitung
Meine Frage:
Folgende Angabe löst bei mir Verwirrung aus:
Erste Ableitung von:

y=3/4sin²x*cos(1/x)

meine fragen lauten nun was genau ich ableiten muss? nur sin und cos, oder jedes element?
bzw. wie genau leite ich 3/4 sin²x ab?

Meine Ideen:
Ich würde so tun:

1.) sehe ich ein produktregel: (u*v)'= u'v + uv'

2.) u = 3/4 sin²x u'= 3/4 cos²x(?) oder ist da auch die kettenregel? --> also 6/4 sinx oder kettenregel und sin? --> also 6/4 cosx

3.) v = cos(1/x) v' = -sin(1/x) oder die klammer auch ableiten? --> also -sin(-1/x²)

Bitte auch erklären, WARUM ich was wie machen soll
Equester Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
meine fragen lauten nun was genau ich ableiten muss? nur sin und cos, oder jedes element?

Naja, natürlich muss alles abgeleitet werden.

Hier brauchts, wie du richtig erkannt hast, schonmal die Produktregel, da wir es mit einem Produkt aus zwei von x abhängenden Ausdrücken zu tun haben.

1.) Die Idee ist also die richtige.
2.) Entweder Produktregel anwenden (sin(x)*sin(x)) oder Kettenregel anwenden (sin²(x)).
Den von x unabhängigen Faktor 3/4 brauchste ja nicht direkt abzuleiten und kannste nach vorne ziehen Augenzwinkern .
3.) Da bringst du die Sache etwas durcheinander. Es ist richtig, dass v' = -sin(1/x) nicht die richtige Ableitung ist. Dass das nicht ausreicht. Es muss nachdifferenziert werden. Dafür wird das Argument abgeleitet. Die Ableitung des Arguments ist allerdings ein Faktor. Das Argument selbst bleibt immer unverändert.
_Logiksucher. Auf diesen Beitrag antworten »

Somit cos(-1/x²)?
Logiksucher__ Auf diesen Beitrag antworten »

Bzw. was genau meinst du mit 3/4 brauch ich nicht ableiten und kann´s "nach vorne ziehen"?

3/4 sin²x (x^n --> n*x^(n-1)), demnach 3/4*2 = 6/4 und sin²x wird sinx, da ja hochzahl -1, oder?
Equester Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Das Argument selbst bleibt immer unverändert.


Um deinen ersten Beitrag zu kommentieren.

Zu deinem zweiten Beitrag. Verrechnen sollst/darfst du es natürlich schon. Du musst es aber beim eigentlichen Prozess des Ableitens nicht extra berücksichtigen. Du kannst den Faktor für diesen Moment "ausblenden". Viel wichtiger ist die Frage was mit sin²(x) getan wird. Da berücksichtigst du weder Produkt- noch Kettenregel...so wie ich es gerade eben erbeten hatte.
_Logiksucher_ Auf diesen Beitrag antworten »

also die ableitungsregeln besagen das sin(x) abgeleitet cos(x) ist und cos(x) abgeleitet sin(x)

wenn ich dies nun so übernehme bekomme ich für

sin²(x) gleich cos²(x)

und für

cos(1/x) gleich -sin(1/x)
 
 
_Logiksucher_ Auf diesen Beitrag antworten »

fehler: cos(x) abgeleite ist natürlich -sin(x)
Equester Auf diesen Beitrag antworten »

unglücklich

sin²(x) gleich cos²(x)
Zitat:
2.) Entweder Produktregel anwenden (sin(x)*sin(x)) oder Kettenregel anwenden (sin²(x)).


cos(1/x) gleich -sin(1/x)
Zitat:
3.) Da bringst du die Sache etwas durcheinander. Es ist richtig, dass v' = -sin(1/x) nicht die richtige Ableitung ist. Dass das nicht ausreicht. Es muss nachdifferenziert werden. Dafür wird das Argument abgeleitet. Die Ableitung des Arguments ist allerdings ein Faktor. Das Argument selbst bleibt immer unverändert.


Übrigens hast du jetzt deinen dritten Account geschockt . Welchen willst du behalten? Die anderen zwei werden gelöscht.
_Logiksucher_ Auf diesen Beitrag antworten »

Die anderen beiden waren unregestrierte Besucher... dieser hier ist mit mailadresse registriert.

also: u = 3/4 sin²x u' = 3/4 cos²x

v = cos(1/x) v' = -sin(-1/x²)

daher: [3/4cos²x * cos(1/x)] + [-sin(-1/x²) * 3/4sin²x]

??"Es muss nachdifferenziert werden. Dafür wird das Argument abgeleitet. Die Ableitung des Arguments ist allerdings ein Faktor. Das Argument selbst bleibt immer unverändert."??

Scheinbar hab´ ich ein Problem mit der Definition von Argument und Faktor. Und es verwirrt, dass in der Aussage steht, dass das Argument abgeleitet wird zugleich aber immer unverändert bleibt.

Verzeih´ aber unsere Mathe-Prof zieht die Dinge einfach durch, wer zurückbleibt hat Pech gehabt ,und womöglich gibt es Unterschiede zwischen deutschen Tagesschulen und österreichischen Abendschulformaten für Berufstätige (zumal unsere Stundenanzahl massiv kürzer ist). Scheinbar wird auch erwartet, dass man das meiste schon mal gehört hat (hab ich leider nicht).

Ich würd´ echt gern verstehen, was ich hier zutun habe, kenn die hierfür notwendigen Ableitungsregeln, weiss aber nicht genau, welche ich nun wie hier anwenden muss.

Allerdings ein großes D A N K E für deine bisherige Unterstützung.
Equester Auf diesen Beitrag antworten »

Ok schalten wir einen Gang runter, in Ordnung?

Bleiben wir erst mal bei dem richtig erkannten -> Produktregel anwenden.
Dabei haben wir für u=3/4*sin²(x) und für v=cos(1/x).

Kümmern wir uns vorerst mal nur um u'.

Für u' empfehle ich erneut die Produktregel. Es gilt ja sin²(x)=sin(x)*sin(x).
Also neue Produktregel: (a*b)'=a*b'+b'*a


Probier dich mal Augenzwinkern .

(P.S.: Bin zwar hin und wieder mal über den Tag on, stehe aber eigentlich erst gegen später Abends voll zur Verfügung)
_Logiksucher_ Auf diesen Beitrag antworten »

gut, also

sin²(x) ist abgeleitet:

sinx * cosx + cosx *sinx
--> 2sinx + 2cosx

also 3/4 (2sinx+2cosx) * cosx(1/x)

nun wieder u= 3/4 (2sinx + 2cosx) u'= 2cosx + 2(-sinx)
v= cos(1/x) v'= {-sin(1/x)}

2cosx + 2(-sinx) * cos(1/x) + (2sinx+2cosx) * {-sin(1/x)}
conlegens Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von _Logiksucher_
gut, also

sin²(x) ist abgeleitet:

sinx * cosx + cosx *sinx
--> 2sinx + 2cosx



Das nach "--->" stimmt nicht.
Equester Auf diesen Beitrag antworten »

Du sagtest selbst, dass dir die Geschwindigkeit zu hoch ist,
dann lass es nun an mir die Geschwindigkeit vorzugeben.

Wir bestimmen jetzt mal nur u'.

->
(sin²(x))'=sinx * cosx + cosx *sinx

Das war richtig. Aber wie du zusammenfasst, passt nicht mehr.
Das obige hat doch die Form a+a=2a. Das gilt auch bei uns -> sinx * cosx + cosx *sinx=2sin(x)cos(x)


Nun bestimmen wir u': (3/4*sin²(x))'=3/4(sin²(x))'=3/4*2*sin(x)cos(x)

Du kannst mir folgen?
_Logiksucher_ Auf diesen Beitrag antworten »

ja ok, klar soweit

da stellen sich mir 2 fragen:

1.) 2*sinx*cosx ist doch equivalent zu sin(2x)

2.) 3/4*2 kann ich da ja gleich zusammenfassen.

demnach: u' = 6/4 sin(2x) ?
_Logiksucher_ Auf diesen Beitrag antworten »

bzw

habe ich jetzt:

u = 3/4 sin²x
u' = 3/4*2*sinxcosx

v = cos(1/x)
v' = {-sin(1/x)}

also 3/4*2*sinxcosx * cos(1/x) + 3/4sin²x * {-sin(1/x)}
Equester Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
1.) 2*sinx*cosx ist doch equivalent zu sin(2x)

2.) 3/4*2 kann ich da ja gleich zusammenfassen.

demnach: u' = 6/4 sin(2x) ?


Ja, das ist richtig. 6/4 solltest du allerdings als 3/2 schreiben Augenzwinkern .

Zitat:
3/4*2*sinxcosx * cos(1/x) + 3/4sin²x * {-sin(1/x)}


Das sieht nun gar nicht so schlecht aus. einzig allein {-sin(1/x)} passt nicht. D.h. es ist nicht ausreichend.



Widmen wir uns also der Ableitung von cos(1/x). Verwende hierfür die Kettenregel.
_Logiksucher_ Auf diesen Beitrag antworten »

ich möchte da jetzt nicht vorgreifen, sondern dir nur meine weiteren gedankengänge darlegen. Zum einen kann ich es leichter nachvollziehen, zum zweiten, so glaube ich, kannst du erkennen, wo meine denk- respektive rechenfehler liegen.

es geht jetzt also darum v abzuleiten
_Logiksucher_ Auf diesen Beitrag antworten »

also cosx abgeleitet ist (-sinx)

und 1/x = x^-1
abgeleitet -1*x^-2 = -1/x²

leite ich also cos und die klammer ab?

ergibt das: {-sin(-1/x²)}
Equester Auf diesen Beitrag antworten »

Die Idee ist richtig. Die Umsetzung der Kettenregel nicht.

Kettenregel: u'(v(x))*v'(x)

Bei uns:
u=cos(v)
v=1/x

Probiere es erneut Augenzwinkern .
_Logiksucher_ Auf diesen Beitrag antworten »

nein, wart mal kettenregel

innere * äußere ableitung

also Bsp.: (2x+x²)² = []² (äußere) = 2[]^1 und (2x+x²) = (2+2x)

also 2*(2x+x²) * (2+2x) innere * äußere

cos (1/x).... außen = cos(1/x) abgeleitet -sin(1/x)

innen (1/x).... innen = 1/x abgeleitet -1/x²

also:

-sin(1/x)*(-1/x²) ???
Equester Auf diesen Beitrag antworten »

Jetzt passt es Freude .

Also unsere Ableitung:
f'(x)=3/4*2*sinxcosx * cos(1/x) + 3/4sin²x * {-sin(1/x)}*(-1/x²)
=3/4*sin(2x)*cos(1/x)+3/4*sin²x*sin(1/x)/x²
_Logiksucher_ Auf diesen Beitrag antworten »

ok, jetzt hab ich gecheckt worauf ich achten muss.

danke nochmal

darf ich dich hier noch anschliessend mit einer frage aufhalten?

es geht um e^-x

mein gedankengang hierzu wäre:

x^n = n * x^(n-1)

e^-x

müsste ja dann -e^-x-1

andererseits e^x abgeleitet = e^x

oder besagt letztere regel, dass ich in der ableitung sozusagen nur das "-" beachte, ergo e^(-x) abgeleitet = -e^x

????
Equester Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
x^n = n * x^(n-1)


Abgesehen davon, dass hier das Gleichheitszeichen nicht passt (besser: (x^n)' = n * x^(n-1)),
passt auch die Form nicht auf unser Problem. Die variable Größe x befindet sich bei der Formel in der Basis, bei uns im Exponenten.

Für die e-Funktion selbst gilt folgendes: Sie bleibt immer gleich.

Aber wie auch beim Cosinus muss die Kettenregel beachtet werden. Das Vorzeichen kommt also runter:
Nach u'(v(x))*v'(x)
mit
u=e^v -> u'=e^v
v=-x -> v'=-1

gilt: (e^(-x))'=e^(-x)*(-1)=-e^(-x)


Klar? smile


Edit: Ich bin nun weg, aber ich denke es ist alles gesagt. Wenn nicht...ich komme wieder Augenzwinkern .
_Logiksucher_ Auf diesen Beitrag antworten »

das war einleuchtend und weit logischer erklärt als unsere mathe-prof

herzlichen dank
Equester Auf diesen Beitrag antworten »

Freut mich, wenn ich helfen konnte smile .

Wink
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