Überprüfen ob Gleichungen in Z lösbar sind

Neue Frage »

*chicky* Auf diesen Beitrag antworten »
Überprüfen ob Gleichungen in Z lösbar sind
Meine Frage:
Frage siehe Anhang

Meine Ideen:
Aufgabe a und b habe ich versucht zu rechnen (Siehe ebenfalls Anhang)

jedoch weis ich immer nicht wann ich welchen modulo benutzen muss und wie ich dann auf eine Lösung komme wenn die Gleichung lösbar ist
Magnitude Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,

die Betrachtung der Restklassenringe erfolgt nur um zu zeigen, dass keine ganzzahligen Lösungen existieren. Daher sollte man sich hinreichend sicher sein, dass es keine Lösungen gibt bevor man damit anfängt. Lösungen findet man in aller Regel aber nur durch hablbwegs geschicktes suchen.

Die a) hat eine relativ offensichtliche Lösung,
die d) präsentiert eine Lösung auf dem Silbertablett.
die b) hast du ja,
bei der c) hilft der 2-Quadrate-Satz und mithin eine Betrachtung mod 4.
chicky Auf diesen Beitrag antworten »

ja bei a hab ich das sie lösbar ist mit -1 und 2

ist es egal mit welchem mod ich das betrachte oder gibt es bestimmte regeln
chicky Auf diesen Beitrag antworten »

ist bei der d der 2 quadratsatz für primzahlen entscheidend ?

is p eine primzahl der form 4k+1 dann gibt es a und b mit a²+b² = p
ollie3 Auf diesen Beitrag antworten »

hallo,
bei der d) geht es viel einfacher: setze einfach y=1 und überlege, wie man
2^1000 umschreiben kann, das es die form x^2 bekommt, wie man also
2^1000 als quadrat schreiben könnte...
gruss ollie3
Magnitude Auf diesen Beitrag antworten »

Mit nimmt den Restklassenring der in diesem Fall nützt. Das fällt also in die Kategorie Educated Guessing und es gibt kein wirkliches Standradlösungsschema.

Bei der d) ist es entscheidend die Augen aufzumachen. Der 2-Quadrate-Satz nützt herzlich wenig, da hier die Primfaktoren a priori nicht bekannt sind und auch halbwegs aufwendig zu bestimmen wären.
 
 
chicky Auf diesen Beitrag antworten »

das hab ich soweit verstanden danke

bei der d ist dann die lösung 1 und 2^500

aber bei der c steh ich vollig am schlauch mich verwirrt die -1 voll
tmo Auf diesen Beitrag antworten »

Betrachte die Gleichung in der c) einfach mod 4. Dann bist du fertig.
Mystic Auf diesen Beitrag antworten »

ad a)

Da x³+y³=7 offensichtlich keine Lösung in naürlichen Zahlen x,y hat, und auch nicht, wenn x und y beide negativ sind, muss genau eine davon positiv und die andere dann negativ sein. Sei also o.B.d.A. x>0 und y=-z mit z>0, dann gilt



Wegen 0<x-z<x²+xz+z² muss also dann x-z=1 und x²+xz+z²=7 gelten. Indem man z=x-1 einsetzt, erhält man eine quadratische Gleichung für für x mit nur einer positiven ganzzahligen Lösung...
chicky Auf diesen Beitrag antworten »

c ist nicht lösbar , da die lösungen bei mod 4 {0,1,2} wären und [3] nicht enthalten ist

weil [x]²+[y]²=[3] bei betrachtung in mod 4
Neue Frage »
Antworten »



Verwandte Themen

Die Beliebtesten »
Die Größten »
Die Neuesten »