quadratische gleichung mit betrag

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19.02.2013, 12:35	Kimberly20	Auf diesen Beitrag antworten »
quadratische gleichung mit betrag Meine Frage: Wie löse ich folgende quadratische Gleichung?? Ich weiß dass ich eine Fallunterscheidung machen muss, aber da auf beiden Seiten jeweils Beträge stehen bin ich etwas irritiert und weis nicht wo ich anfangen soll!! Bitte um Hilfe \|x^2-4x+3\|<\|x-1\| ( es soll hier eigtl. \|x^2-4x+3\| größer/gleich \|x-1\| stehn, aber i wie funktioniert es nicht so wie es sollte :P ) Meine Ideen: Würde anstatt \|x-1\| einfach ne 0 dastehn, könnte ich wie üblich die Fallunterscheidung zwischen x^2-4x+3 < 0 und -(x^2-4x+3) > 0 machen. Abert wie funktioniert das in diesem Fall?
19.02.2013, 12:45	Helferlein	Auf diesen Beitrag antworten »
Normalerweise brauchst Du bei Betragsgleichungen Fallunterscheidungen. Hier hilft es aber schon, wenn Du die linke Seite faktorisierst.
19.02.2013, 12:52	Kimberly20	Auf diesen Beitrag antworten »
Verstehe ich nicht.....dachte ich löse anschließend mit pq-Formel??
19.02.2013, 12:55	Helferlein	Auf diesen Beitrag antworten »
Mit pq-Formel kannst Du nur bei quadratischen Gleichungen arbeiten, deren Nullstellen Du bestimmen willst. Hier hast Du aber eine Betragsgleichung, in der zwar ein Quadrat auftaucht, aber halt innerhalb des Betrags. Wäre der nicht da, könntest Du es mit pq versuchen. Hier ist es aber sinnvoller den quadratischen Term $\begin{eqnarray} x^2-4x+3 \end{eqnarray}$ in seine Linearfaktoren zu zerlegen. Warum, wirst Du sehen, wenn Du sie herausgefunden hast. Der Begriff des Linearfaktors ist dir hoffentlich bekannt?
19.02.2013, 13:04	Kimberly20	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja klar ist mir bekannt. Also einfach binomische Formel anwenden und dann als Ergebnis (x-3)*(x-1) .... stehen beide dann im Betrag?? und dann kann ich einfach den betrag x-1 wegkürzen, dass nur noch der betrag von x-3 zurückbleibt?? und dann meine normale Fallunterscheidung?! Ändert isch beim wegkürzen das größer/gleich Zeichen?
19.02.2013, 13:09	Helferlein	Auf diesen Beitrag antworten »
Da der Betrag einer Zahl, bis auf eine Ausnahme, immer positiv ist, darfst Du die Gleichung teilen, ohne dass sich das kleiner-Zeichen ändert. Wichtig ist aber noch, dass Du auf die eben erwähnte Ausnahme eingehst: Durch welche Zahl darf nicht geteilt werden?
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19.02.2013, 13:12	Kimberly20	Auf diesen Beitrag antworten »
Durch null dar nicht geteilt werden! Also als reelle Lösungsmenge bekomme ich dann für diese Aufgabe +3 raus?!
19.02.2013, 13:16	Helferlein	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: quadratische gleichung mit betrag Ehm...nö? Wie kommst Du auf x=3? Wir haben die Ausgangsgleichung $\begin{eqnarray} \|x^2-4x+3\|\geq\|x-1\| \end{eqnarray}$ umgeschrieben zu $\begin{eqnarray} \|x-3\|\|x-1\| \geq \|x-1\| \end{eqnarray}$ Dann hast Du durch \|x-1\| geteilt und $\begin{eqnarray} \|x-3\| \geq 1 \end{eqnarray}$ erhalten. Für welche x ist diese Gleichung richtig? Und was ist mit dem erwähnten Fall, dass \|x-1\|=0 ist?
19.02.2013, 13:26	Kimberly20	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: quadratische gleichung mit betrag ja hab einen dummen Fehler gemacht! \|x-1\| / \|x-1\| ist bekanntlicher Weise 1! Keine Ahnung wie ich darauf kam dass es 0 ist!! sorry dann habe ich die zwei Fälle für: x-3 für x größer/gleich 0 -(x-3) für x kleiner/gleich 0 und dann komme ich auf das Ergebnis L= {4;2}
19.02.2013, 13:29	Helferlein	Auf diesen Beitrag antworten »
Du scheinst zu vergessen, dass wir es nicht mit einer Gleichung, sondern Ungleichung zu tun haben. Die Gleichung ist nur für x=2 und x=4 erfüllt, die Ungleichung aber z.B. auch für x=5 oder x=0.
19.02.2013, 13:39	Kimberly20	Auf diesen Beitrag antworten »
och man, dann bin ich voll auf dem holzweg... Dann noch ein Versuch..... Im ersten fall für x größer/gleich 0 wäre miene Lösung L= [x / x größer/gleich 3 } Und im zweiten Fall für x kleiner/gleich 0 nochmal L= { x / x größer/ gleich 3 }
19.02.2013, 13:43	Helferlein	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: quadratische gleichung mit betrag Das scheint eher in die falsche Richtung zu gehen. Also noch einmal: Welche Lösungen besitzt die Ungleichung $\begin{eqnarray} x-3 \geq 1 \end{eqnarray}$ und welche die Ungleichung $\begin{eqnarray} -(x-3) \geq 1 \end{eqnarray}$ Und wann gilt $\begin{eqnarray} \|x-3\|=x-3 \end{eqnarray}$ bzw. $\begin{eqnarray} \|x-3\|=-(x-3) \end{eqnarray}$ ?
19.02.2013, 13:54	Kimberly20	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: quadratische gleichung mit betrag für \|x-3\| = x-3 für x größer/gleich 0 für \|x-3\|= -x+3 für x kleiner/gleich 0 ?? Lösung für x-3 größer/gleich 1 : L= x und x größer/gleich 4 Lösung für -x+3 größer/gleich 1 : L= x und x kleiner/gleich 2
19.02.2013, 13:59	Helferlein	Auf diesen Beitrag antworten »
Der erste Teil stimmt nicht, der zweite dann kurioser Weise schon. Der Betrag einer Zahl ist nur dann größer als Null, wenn der Term ohne Betragstriche bereits positiv ist. Hier also nicht nur das x, sondern das gesamte x-3. Entsprechendes gilt für den negativen Teil. Deine ermittelte Lösung stimmt jetzt aber.
19.02.2013, 14:23	Kimberly20	Auf diesen Beitrag antworten »
Okay alles klar!! Vielen Dank für die schnelle Hilfe =)

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