Absolute Konvergenz und Konvergenz

19.02.2013, 14:13

Alexandra Ardanex

Absolute Konvergenz und Konvergenz

Meine Frage:
Die Klausur steht vor der Tür und ich möchte nochmal meine großen Schwächen vielleicht ein wenig zu reduzieren. Z.b. bei

$\begin{eqnarray*} 1) \sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{n}{4^n} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} 2) \sum\limits_{n=1}^{\infty} ( \frac{n+1}{2^n+1})^n \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Könnte mir jemand sagen mit welchen Konvergenzkriterium ich da am Besten bedient bin ? Und ob es eine Möglichkeit gibt das zu erahnen?

19.02.2013, 14:17

Iorek

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Absolute Konvergenz und Konvergenz

Zitat:

Original von Alexandra Ardanex
Könnte mir jemand sagen mit welchen Konvergenzkriterium ich da am Besten bedient bin ? Und ob es eine Möglichkeit gibt das zu erahnen?

Die besten Methoden: Übung, Übung, Übung, so eine ähnliche Reihe kenne ich, Übung, bei einer ähnlichen Reihe hat es dieses Kriterium getan, Übung. Es gibt (leider) kein Kochrezept und auch nicht jeder Reihe sieht man von vornherein an, mit welchem Konvergenzkriterium man sie bearbeiten soll.

Für deine erste Reihe könnte die Überlegung helfen, dass z.B. $\begin{eqnarray*} n<n^2<2^n \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} n>4 \end{eqnarray*}$ gilt.

19.02.2013, 14:18

koala_bearchen

Auf diesen Beitrag antworten »

des 2te schreit ja förmlich nach wurzelkr. weil
$\begin{eqnarray*} \sqrt[n]{x} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x^{n} \end{eqnarray*}$ einfach gut zusammen passen

beim ersten könntest es au machen wenn du weist was $\begin{eqnarray*} \sqrt[n]{n} \end{eqnarray*}$ ist

19.02.2013, 14:23

Alexandra Ardanex

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Absolute Konvergenz und Konvergenz
Danke für die schnellen Antworten.

$\begin{eqnarray*} 2) \sum\limits_{n=1}^{\infty} ( \frac{n+1}{2^n+1})^n \end{eqnarray*}$

Und wie wende ich jetzt das $\begin{eqnarray*} \sqrt[n]{n} \end{eqnarray*}$ an ?

19.02.2013, 14:32

Chris00

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich denke er meint das du das Wurzelkrit. verwenden könntest.

$\begin{eqnarray*} \frac{\sqrt[n]{n}}{\sqrt[n]{4^n}} \end{eqnarray*}$

19.02.2013, 14:33

koala_bearchen

Auf diesen Beitrag antworten »

$\begin{eqnarray*} \sqrt[n]{n} \end{eqnarray*}$ war bei der 1 gemeint

$\begin{eqnarray*} \sqrt[n]{\frac{n}{4^{n}}} = \frac{\sqrt[n]{n} }{\sqrt[n]{4^{n}}} \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} \frac{\sqrt[n]{n} }{4} \end{eqnarray*}$

jetzt ist halt die frage ihr in der vorlesung $\begin{eqnarray*} \sqrt[n]{n} \end{eqnarray*}$ besprochen habt

19.02.2013, 14:39

Alexandra Ardanex

Auf diesen Beitrag antworten »

Das weiß ich leider nicht verwirrt

19.02.2013, 14:45

koala_bearchen

Auf diesen Beitrag antworten »

schaust halt mal deine unterlagen durch
$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{n} = 1 \end{eqnarray*}$ werdeet ihr sicher iwann
mal durchgerechnet haben

19.02.2013, 15:17

Alexandra Ardanex

Auf diesen Beitrag antworten »

Kann ich echt nicht finden nehmen wir es einfach mal so an.

19.02.2013, 15:36

koala_bearchen

Auf diesen Beitrag antworten »

also ist die 1) wohl geklärt oder ?
bei der 2) würd i dir dann auch des Wurzelkriterium empfehlen
wie würde es den dann aussehn ?

19.02.2013, 15:40

Jello Biafra

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Alexandra Ardanex
Kann ich echt nicht finden nehmen wir es einfach mal so an.

So was ist immer schlecht. Entweder das Resultat ist bereits bewiesen und somit bekannt oder eben nicht und dann musst Du das schon erledigen.

Besser wäre es hier aber Du hieltest Dich direkt an Iorek's Hinweis ganz oben und schätztest einfach ab:

Offenbar (bei Bedarf auch per trivialer Induktion) gilt

$\begin{eqnarray*} 4^n=2^n\cdot 2^n>n\cdot 2^n\text{ für alle }n\in\mathbb N. \end{eqnarray*}$

Und damit folgt auch schon

$\begin{eqnarray*} \frac n{4^n}<\left(\frac 12\right)^n \end{eqnarray*}$

womit Du eine wohlbekannte konvergente Majorante gefunden hast.

Bei der 2. kannst Du ganz ähnlich vorgehen.

Neue Frage »

Antworten »

Absolute Konvergenz und Konvergenz

Verwandte Themen