Stetigkeit bzw. Differenzierbarkeit

19.02.2013, 16:15

Womanpower

Stetigkeit bzw. Differenzierbarkeit

Meine Frage:
Hey ich muss zeigen, dass die Funktion

$\begin{eqnarray*} g:]0, \infty [\rightarrow \mathbb R, x \mapsto \begin{cases} \frac{1}{t}+t-2, & \text{t }\leq \text{1}\\ 0, & \text{t }>\text{ 1} \end{cases} \end{eqnarray*}$

in 1 stetig differenzierbar, aber nicht zweimal differenzierbar ist.

Meine Ideen:
Behauptung g ist in 1 stetig differenzierbar; über die Ableitung nicht differenzierbar in 1.

z.z. g ist differenzierbar in 1

$\begin{eqnarray*} \lim_{t \to 1} \frac{g(x)-g(1)}{x-1}=\lim_{t \to 1} \frac{g(t)}{t-1}=\lim_{t \to 1} \frac{\frac{1}{t}+t-2}{t-1} \end{eqnarray*}$

Zähler -> 0 und Nenner ->0 d.h. l'Hospital

$\begin{eqnarray*} \lim_{t \to 1} \frac{-\frac{1}{t^2}+1}{1}=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \lim_{t \to 1} \frac{g(t)}{t\cdot 1}=\lim_{t \to 1} \frac{0}{t\cdot 1}=0 \end{eqnarray*}$ g ist in differenzierbar in 1

Wir haben also

$\begin{eqnarray*} g(t)=\begin{cases} -\frac{1}{t^2}+1, & \text{t }\leq \text{1}\\ 0, & \text{t }>\text{ 1} \end{cases} \end{eqnarray*}$

z.z. g' ist stetig in 1

$\begin{eqnarray*} \lim_{t \to 1} g'(t)= \lim_{t \to 1} -\frac{1}{t^2}+1=0 \end{eqnarray*}$

z.z. g'(t) ist nicht differenzierbar in 1

$\begin{eqnarray*} \lim_{t \to 1} \frac{g'(t)-g'(t)}{t-1}= \lim_{t \to 1} \frac{-\frac{1}{t^2}+1}{t-1} \end{eqnarray*}$

Zähler -> 0 und Nenner -> 0 somit l'Hospital

$\begin{eqnarray*} =\lim_{t \to 1} \frac{2\frac{1}{t^3}+1}{1}=2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 2 \neq 0 \Rightarrow g'(t) \end{eqnarray*}$ nicht differenzierbar in 1.

Ich habe jetzt einige Fragen zu dieser Aufgabe, welche ich in einer Antwort zeitnah stellen werde.

19.02.2013, 16:29

Womanpower

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RE: Stetigkeit bzw. Differenzierbarkeit

Zitat:

Womanpower $\begin{eqnarray*} \lim_{t \to 1} \frac{g(x)-g(1)}{x-1}=\lim_{t \to 1} \frac{g(t)}{t-1}=\lim_{t \to 1} \frac{\frac{1}{t}+t-2}{t-1} \end{eqnarray*}$

Zuerst verstehe ich nicht woraus das zweite Gleichheitszeichen folgt und weswegen der Nenner zu t-1 wird.

19.02.2013, 18:26

Womanpower

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RE: Stetigkeit bzw. Differenzierbarkeit

Zitat:

Original von Womanpower

$\begin{eqnarray*} \lim_{t \to 1} \frac{g(t)}{t\cdot 1}=\lim_{t \to 1} \frac{0}{t\cdot 1}=0 \end{eqnarray*}$ g ist in differenzierbar in 1

Genauso verstehe ich nicht wie dann auf einmal t mal 1 im Nenner wird ? Die Rechenschritte sind mir einigermaßen klar. Ich wäre sehr dankbar, wenn mir das jemand aufklären könnte, diese Schnittstellen.

19.02.2013, 19:01

Dustin

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Zitat:

Zitat: Womanpower $\begin{eqnarray*} \lim_{t \to 1} \frac{g(x)-g(1)}{x-1}=\lim_{t \to 1} \frac{g(t)}{t-1}=\lim_{t \to 1} \frac{\frac{1}{t}+t-2}{t-1} \end{eqnarray*}$
Zuerst verstehe ich nicht woraus das zweite Gleichheitszeichen folgt und weswegen der Nenner zu t-1 wird.

Da sind zwei Bezeichnungsfehler. Erstens heißt das von Anfang an entweder

$\begin{eqnarray*} \lim_{t \to 1} \frac{g(t)-g(1)}{t-1} \end{eqnarray*}$

oder

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 1} \frac{g(x)-g(1)}{x-1} \end{eqnarray*}$

aber nicht der Mischmasch

$\begin{eqnarray*} \lim_{t \to 1} \frac{g(x)-g(1)}{x-1} \end{eqnarray*}$

Zweitens heißt es ganz richtig

$\begin{eqnarray*} \lim_{t \to 1-0} \frac{g(t)-g(1)}{t-1} \end{eqnarray*}$ ,
weil hier erstmal der Limes für t --> 1, t<1 berechnet wird. Das gibt auch die Berechtigung, die Funktionsgleichung für t<1 einzusetzen.

Zitat:

Genauso verstehe ich nicht wie dann auf einmal t mal 1 im Nenner wird ?

Das ist auch schliecht und ergreifend falsch.

Viele Grüße Dustin

19.02.2013, 20:04

Jello Biafra

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Hier wird etwas übereifrig mit L'Hospital losmarschiert wo simple Umformungen schon alles offenbaren:

Sei $\begin{eqnarray*} t\leq 1. \end{eqnarray*}$

Dann gilt

$\begin{eqnarray*} \frac{g(t)-\overbrace{g(1)}^{=0}}{t-1}=\frac{\frac 1t+t-2}{t-1}=\frac{1+t^2-2t}{t(t-1)}=\frac{t-1}t\stackrel{t\nearrow 1}{\longrightarrow}0. \end{eqnarray*}$

Und bei der Diffbarkeitsuntersuchung der 1. Ableitung hat man

$\begin{eqnarray*} \frac{g'(t)-\overbrace{g'(1)}^{=0}}{t-1}=\frac{1-\frac 1{t^2}}{t-1}=\frac{t^2-1}{t^2(t-1)}=\frac{t+1}{t^2}\stackrel{t\nearrow 1}{\longrightarrow}2. \end{eqnarray*}$

19.02.2013, 20:15

Dustin

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@ Jello Biafra: Das stimmt zwar, aber falsch ist Womanpowers Lösung auch nicht. Bitte schreib das dann wenigstens dazu, um nicht Verwirrung zu stiften!

19.02.2013, 20:48

Jello Biafra

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Zitat:

Original von Dustin
... falsch ist Womanpowers Lösung auch nicht...

Das habe ich auch in keinster Weise behauptet oder auch nur angedeutet.

20.02.2013, 07:32

Womanpower

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RE: Stetigkeit bzw. Differenzierbarkeit

Zitat:

Original von Womanpower

Zitat:

Original von Womanpower

$\begin{eqnarray*} \lim_{t \to 1} \frac{g(t)}{t\cdot 1}=\lim_{t \to 1} \frac{0}{t\cdot 1}=0 \end{eqnarray*}$ g ist in differenzierbar in 1

Das ist mir hier noch unklar. Es ist übrigens eine Musterlösung der Übungsleiter.

20.02.2013, 12:37

Jello Biafra

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RE: Stetigkeit bzw. Differenzierbarkeit
Das ist einfach eine Schreibfehler.
Da soll natürlich keine Multiplikation sondern eine Subtraktion stattfinden.
Es muss dort also $\begin{eqnarray*} t-1 \end{eqnarray*}$ statt $\begin{eqnarray*} t\cdot 1 \end{eqnarray*}$ stehen.

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