[Artikel] Division durch Null

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[Artikel] Division durch Null
Ich möchte in diesem Artikel einmal übersichtlich darlegen, warum die Division durch Null nicht definiert (oder "verboten", wie man es auch hören kann) ist.

Vorausschicken will ich eines: Die Division durch Null ist (trotz immer wieder neuer gegenteiliger Gerüchte) nicht erlaubt.

Hier ein Vorgeschmack wie Rechnen wäre, dürfte man durch Null teilen:




Hierbei folgt aus und damit wurde in der letzten Zeile durch Null dividiert, was fatale Folgen für die Gleichung hat. Genaueres zu den Auswirkungen einer Division durch Null folgt am Ende.

Ich möchte nun ganz allgemein einige Fälle der versuchten Division durch Null beschreiben (und sie widerlegen!) und dazu einige Informationen einfließen lassen:

Als Erstes befasse ich mich mit dem Fall, dass "x durch Null" eine reelle Zahl als Lösung hat. Dies wird unter mehreren Bedingungen widerlegt, die sich so in diversen Threads hier im Board nachlesen lassen (u.a. in diesem hier) und zuletzt folgt der wohl populärste Irrtum "x durch Null ergibt unendlich".

mit , x beliebig, n beliebig aber fest



mit wobei der Ausdruck nicht definiert ist, demnach nicht mit Null erweitert werden darf (nur weil eine Division durch Null erlaubt ist, muss man schließlich nicht alle anderen Anomalien der Null beseitigen)




Abschließend werde ich noch einige Versuche darstellen, die Division durch Null zu ermöglichen, indem geltende Rechengesetze geändert werden und letztlich noch zum Grund für das Verbot kommen.
kgV Auf diesen Beitrag antworten »
Fall I.
Es wird manchmal behauptet, eine Division durch Null ergebe die Zahl Eins. Dem ist nicht so. Es gilt zwar: , aber definitiv nicht , wie im Folgenden am allgemeinen Beispiel für jedes beliebige Ergebnis gezeigt wird:

mit , x beliebig, n beliebig aber fest



An dieser Stelle machen wir uns die Ausgangsgleichung zunutze: laut dieser gilt:

.

Damit ersetzen wir die linke Seite der Gleichung, sodass da steht:



Dieser Versuch einer Division durch Null führt also auf einen glatten Widerspruch und ist damit widerlegt- für alle reellen Zahlen. Dies kann man der vorletzten Zeile entnehmen, in der es wörtlich heißt: "eine beliebige reelle Zahl ist gleich der selben reellen Zahl plus Eins"
kgV Auf diesen Beitrag antworten »
Fall II.
Dieser Fall der versuchten Division durch Null ähnelt vom Aufbau dem obigen, hat allerdings die Einschränkung, dass der Ausdruck nicht definiert ist (so wie es auch in der Realität ist) und damit eine Erweiterung einer beliebigen Zahl auf den Nenner Null nicht möglich ist.



Auch hier können wir über die Ausgangsgleichung die linke Seite ersetzen:



Damit wäre die Division durch Null eine Rechnung wie die Multiplikation mit Eins. Die Ausgangslage ist aber die, dass nirgendwo geschrieben steht, dass der Fall gelten muss. Dies ist aber der einzige Fall, für den das Ergebnis der obigen Umformung zutreffend wäre. Somit ist auch dieser Fall der versuchten Division durch Null widerlegt.
kgV Auf diesen Beitrag antworten »
Fall III.
Dieser Irrtum ist derjenige, der mir am häufigsten unterkommt. Er rührt wohl von den Grenzwertbetrachtungen für her. Dieser Grenzwert lautet zwar Unendlich, ist aber nicht mit dem Ergebnis der Funktion für zu verwechseln. Die Funktion ist an der Stelle nicht definiert. Es gilt also nicht: . Wem das nicht genügt, der beachte: . Damit ist schon gezeigt, dass der Grenzwert für nicht existiert. Nun folgt direkt der Beweis, dass auch die Division durch Null niemals Unendlich ergibt:


für beliebige x

Der Umstand, dass x beliebig gewählt werden darf, erlaubt es uns, einen zweiten Wert zu definieren: . Auch für diesen Wert gilt die Gleichung:



Nun setzen wir beide Gleichungen über gleich:



Da nun auch 1 in der Definitionsmenge für x ist, steht dieses Umformungsergebnis in Widerspruch zu der Annahme, die am Anfang getroffen wurde:
kgV Auf diesen Beitrag antworten »
Was wäre wenn...
Nach diesen Widerlegungen der versuchten Division durch Null will ich noch einer Frage nachgehen: Würde die Division durch Null möglich werden, wenn man diese Spielregeln verändern würde? Was wäre, wenn man die Multiplikation verbieten würde? Die Antwort darauf lautet "nein", wie im Folgenden kurz gezeigt wird: Ausgegangen wird wiederum von folgender Gleichung (rechts könnte auch unendlich stehen, das täte der Gültigkeit des Beweises keinen Abbruch):

mit , wobei der Ausdruck nicht definiert ist und eine Multiplikation mit Null ebensowenig erlaubt.



Hier endet der Versuch, eine Division durch Null durch das Verbot einer Multiplikation mit Null zu ermöglichen. Bei der Division des Bruchs mit Null im Nenner durch Null kommt es im neuen, zusammengenommenen Nenner zu einer Multiplikation mit der Zahl Null, die nach den Gesetzen dieses neuen Raumes verboten ist.

Demnach müsste man, um eine Division durch Null zu ermöglichen, erst die Rechenoperation des Dividierens völlig neu definieren, ein Aufwand, der bei Weitem zu hoch ist, um das Ergebnis zu rechtfertigen.

Man könnte zwar auch definieren, dass gilt, aber auch das führt binnen kurzem zu Problemen, wenn man nicht die Multiplikation mit Null verbietet, weil dann schon in der zweiten Zeile ein Widerspruch vorhanden wäre:



Verbietet man hingegen auch hier die Multiplikation, so wäre die Division durch Null gleich wie eine Multiplikation mit Eins - vollkommen sinnlos. Zusätzlich zum Fakt, dass mit der Division nichts gewonnen wäre, hat man auch noch die Multiplikation mit Null verloren. Auch dieser Versuch endet demnach als glatter Fehlschlag.
kgV Auf diesen Beitrag antworten »
Warum?
Hier sei noch der Grund des Verbots einer Division durch Null gegeben. Es ist ja nicht so, dass dieses Verbot aus einer Laune heraus beschlossen wurde. Vielmehr stellt es einen Schutz des Rechnens, wie wir es kennen, dar. Was eingangs mittels einer kleinen Trickrechnung zum Beweis der Gleichheit von Drei und Vier demonstriert wurde, lässt sich auch wesentlich einfacher zeigen:



Die Division durch Null würde sofort zur Gleichheit jedes beliebigen Zahlenpaares und damit zum Zusammenbruch aller Zahlenmengen mit verheerenden Konsequenzen führen:

1. Wenn alle Zahlen identisch sind, gibt es im Grunde genommen nur eine einzige Zahl.
2. Welchen Wert hat diese Zahl?
3. Wie soll man diese Zahl dann bezeichnen? Mit 1? Oder 0? Oder 25.456.728,33?
4. Alle Rechnungen wären außer Kraft gesetzt: Das Quadrat dieser Zahl wäre sie selbst, die Zahl von sich selbst abgezogen ergäbe wieder sie selbst, alle Vielfachen der Zahl wären gleich ihr, jede beliebige Wurzel aus der Zahl würde wieder zu ihr zurückführen und sogar die Potenzen dieser Zahl entsprächen ihr selbst, die Zahl dividiert durch jede beliebige Zahl (sogar Null- die Division durch Null relativiert sich selbst) ergäbe- wieder sich selbst

Eine Division durch Null widerspricht damit direkt sowohl dem mathematischen Grundprinzip der Wohldefiniertheit, d.h. alle Zahlen und Rechenoperationen müssen eindeutig definiert sein als auch dem Permanenzprinzip, welches besagt, dass durch das Einführen neuer Rechenregeln die schon bestehenden Regeln nicht in ihrer Gültigkeit beschränkt werden dürfen. Wer hierzu Ausführlicheres lesen möchte, sei an Wikipedia (Permanenzprinzip) verwiesen.

Wer an der Geschichte der "Zahl" (oder eben Nicht-Zahl) Null interessiert ist, findet möglicherweise hier [Wikipedia (Null)] das, was er sucht. Eine kurze Einleitung unseres Users kurellajunior möchte ich hier aber schon zitieren:

Zitat:
Original von kurellajunior

Kleine historische Anmerkung:
0 ist keine Zahl im historischen Sinne! Sie ist tatsächlich eine Erfindung und eine späte dazu. Zahlen in diesem Sinne gab es bereits bei den Sumerern, die Null und unser heutiges Zahlensystem wurde jedoch erst deutlich nach Christus erfunden. Da also die Null eine allgemeine Vereinbarung ist, gibt es keine Möglichkeit das in diesem Thread angesprochene Verbot zu beweisen - es ist schlicht und ergreifend eine Vereinbarung. Niemand hat sich hingesetzt um das Verhalten der Zahlen mit dieser Erfindung bei der Division zu definieren. (Tatsächlich wäre er damit auch unendlich lange beschäftigt gewesen)
Nichtsdestotrotz sind Überlegungen in diese Richtung hilfreich um das dialektische Wesen der Null zu erkennen: Sie ist mächtig und nichts zugleich, kann nichts (Addieren) und alles vernichten(Multiplikation). Sie kann jeden Wert in jeden anderen Wert verwandeln und darf es nicht.
Nochmal: 0 ist eine Vereinbarung um mit der nichtexistenz einer Menge von Dingen umzugehen. Es ist keine Zahl, da Zahlen historisch Mengen von Dingen, also anfassbarem bezeichnen.


Mit diesem kurzen Blick auf die interessante, wenngleich divisionsfreie Geschichte der Null schließt sich nun dieser Artikel. Lg kgV
 
 
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