Hilbertraum reflexiv

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19.02.2013, 17:52	jaytech	Auf diesen Beitrag antworten »
Hilbertraum reflexiv Meine Frage: Sei $\begin{eqnarray} \mathcal{H} \end{eqnarray}$ ein Hilbertraum. Zeige, dass ein Hilbertraum reflexiv ist! Meine Ideen: Zeigen muss ich, dass die kanonische Einbettung $\begin{eqnarray} i\colon\mathcal{H}\to\mathcal{H}'', i(x)(x')=x'(x) \end{eqnarray}$ surjektiv ist. Also, dass zu beliebigem $\begin{eqnarray} x''\in\mathcal{H}'' \end{eqnarray}$ ein $\begin{eqnarray} x\in X \end{eqnarray}$ existiert mit $\begin{eqnarray} i(x)=x'' \end{eqnarray}$ , also für alle $\begin{eqnarray} x'\in\mathcal{H}' \end{eqnarray}$ soll gelten: $\begin{eqnarray} i(x)(x')=x'(x)=x''(x') \end{eqnarray}$ Jetzt gilt mit Riesz: $\begin{eqnarray} \mathcal{H}\cong\mathcal{H}' \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \mathcal{H}'\cong\mathcal{H}'' \end{eqnarray}$ Das heißt konkret: $\begin{eqnarray} \exists a\in\mathcal{H}: x'(x)=\langle x,a\rangle~\forall~x\in\mathcal{H} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \exists b\in\mathcal{H}': x''(x')=\langle x',b\rangle~\forall~x'\in\mathcal{H}' \end{eqnarray}$ Es ist also zu zeigen, dass $\begin{eqnarray} \langle x,a\rangle=\langle x',b\rangle \end{eqnarray}$ . Wie mache ich das?
19.02.2013, 18:39	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Hilbertraum reflexiv Zunächst einmal hast du $\begin{eqnarray} x''\in\mathcal H'' \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} b\in\mathcal H' \end{eqnarray}$ identifiziert. Jetzt tu dasselbe nochmal, um ein Element $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ von $\begin{eqnarray} \mathcal H \end{eqnarray}$ zu erhalten. Zeige dann $\begin{eqnarray} i(x)=x'' \end{eqnarray}$ .
19.02.2013, 18:45	Jaytech	Auf diesen Beitrag antworten »
Nabend, Che Netzer. Meinst Du, dass ich nun das $\begin{eqnarray} b\in\mathcal{H}' \end{eqnarray}$ mit einem Element $\begin{eqnarray} x\in\mathcal{H} \end{eqnarray}$ identifizieren soll?
19.02.2013, 18:46	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, aber pass auf, dass du mit den Notationen nicht durcheinanderkommst
19.02.2013, 19:04	Jaytech	Auf diesen Beitrag antworten »
Irgendwie weiß ich nicht so recht, wie ich das am Ende zusammenpuzzlen soll. Also ich benenne mal den isometrischen Isomorphismus, den es nach Riesz zwischen $\begin{eqnarray} \mathcal{H} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \mathcal{H}' \end{eqnarray}$ gibt, mit T und denjenigen zwischen $\begin{eqnarray} \mathcal{H}' \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \mathcal{H}'' \end{eqnarray}$ nenne ich S. Dann habe ich also $\begin{eqnarray} S(b)=x''(\cdot)=\langle\cdot, b\rangle \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} T(x)=b(\cdot)=\langle\cdot,x\rangle \end{eqnarray}$ . Ich weiß nicht, wie ich jetzt $\begin{eqnarray} i(x)=x'' \end{eqnarray}$ zeigen kann.
19.02.2013, 19:12	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
Dann nimm dir mal ein $\begin{eqnarray} x'\in\mathcal H' \end{eqnarray}$ und bestimme $\begin{eqnarray} (i(x))(x')=x'(x) \end{eqnarray}$ . Es ist ja $\begin{eqnarray} x=T^{-1}(b) \end{eqnarray}$ .
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19.02.2013, 19:18	Jaytech	Auf diesen Beitrag antworten »
Es müsste ja dann gelten: $\begin{eqnarray} x'(x)=x'(T^{-1}(b))=x''(x')=(S(b))(x') \end{eqnarray}$ Aber die letzte Identität sehe ich nicht.
19.02.2013, 19:19	Jaytech	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich meine die vorletzte Identität.
19.02.2013, 19:21	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
Na dann schreibe doch mal $\begin{eqnarray} x'(T^{-1}(b)) \end{eqnarray}$ als Skalarprodukt.
19.02.2013, 19:29	Jaytech	Auf diesen Beitrag antworten »
Dann habe ich mit dem Element a aus dem Eröffnungsbeitrag: $\begin{eqnarray} x'(T^{-1}(b))=\langle T^{-1}(b),a\rangle \end{eqnarray}$
19.02.2013, 19:31	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
Wieso denn $\begin{eqnarray} a \end{eqnarray}$ ? Nimm lieber $\begin{eqnarray} T^{-1}(x') \end{eqnarray}$ ...
19.02.2013, 19:43	Jaytech	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich bin wohl etwas verwirrt. Aber Du hast Recht, statt noch wieder eine neue Variable ins Spiel zu bringen, ist es wohl wirklich besser $\begin{eqnarray} a=T^{-1}(x') \end{eqnarray}$ direkt einzusetzen. Also ich habe dann dort stehen: $\begin{eqnarray} \langle T^{-1}(b),T^{-1}(x')\rangle=\langle x',b\rangle \end{eqnarray}$
19.02.2013, 19:45	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja. Und ist das nun $\begin{eqnarray} x''(x') \end{eqnarray}$ ?
19.02.2013, 19:52	Jaytech	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich habe die Identität im letzten Beitrag hingeschrieben, weil das rauskommen muss, aber um ehrlich zu sein, sehe ich nicht, dass $\begin{eqnarray} T^{-1}(b)=x' \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} T^{-1}(x')=b \end{eqnarray}$ . Dass die rechte Seite im letzten Beitrag $\begin{eqnarray} x''(x') \end{eqnarray}$ entspricht, ist mir klar.
19.02.2013, 19:57	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
Wie habt ihr denn das Skalarprodukt auf $\begin{eqnarray} \mathcal H' \end{eqnarray}$ definiert?
19.02.2013, 20:02	Jaytech	Auf diesen Beitrag antworten »
Gar nicht explizit. Ist das Skalarprodukt auf einem Dualraum etwas Besonderes?
19.02.2013, 20:07	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
Üblicherweise setzt man $\begin{eqnarray} \langle x,y\rangle:=\langle T^{-1}y,T^{-1}x\rangle \end{eqnarray}$ , wenn man deinen Operator $\begin{eqnarray} T\colon\mathcal H\to\mathcal H' \end{eqnarray}$ verwendet.
19.02.2013, 20:10	Jaytech	Auf diesen Beitrag antworten »
Okay, mit der Konvention ist die Frage ja dann geklärt, dann steht dort wirklich $\begin{eqnarray} x'(x)=x''(x) \end{eqnarray}$ Ich danke dir sehr für deine Hilfe, die mir sehr viel gebracht hat.
19.02.2013, 20:12	Jaytech	Auf diesen Beitrag antworten »
Sorry, ich meine $\begin{eqnarray} x'(x)=x''(x') \end{eqnarray}$ .
19.02.2013, 20:13	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
Dann hoffe ich nur, dass du dieses Skalarprodukt auch verwenden darfst...
19.02.2013, 20:17	Jaytech	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich gehe sehr stark davon aus. In der Vorlesung haben wir das Thema Reflexivität eher stiefmütterlich behandelt und dass Hilberträume stets reflexiv sind, hatten wir nur in einer kleinen Bemerkung; daher gehe ich davon aus, dass dieses Skalarprodukt einfach "übergangen" wurde. Ich wollte aber doch mal beweisen, dass Hilberträume reflexiv sind, einfach interessehalber. (Morgen schreibe ich meine Klausur in Funktionalanalysis, ich habe schon Bammel. Aber es nützt ja leider nichts.)
19.02.2013, 20:21	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
Ach so, dann würde ich sagen, dass ihr das Skalarprodukt zwar innerhalb der Vorlesung nicht voraussetzen dürft, aber wenn du diese Bemerkung für dich selbst beweisen möchtest, kannst du das natürlich tun. Und wieso möchtest du heute irgendeine Nebenbemerkung beweisen, wenn du wohl lieber etwas wichtigeres lernen würdest? Edit: Ach ja, und ich selbst habe morgen meine FunkAna2-Prüfung
19.02.2013, 20:29	Jaytech	Auf diesen Beitrag antworten »
Hauptsächlich habe ich das gemacht, weil ich den Begriff "Reflexivität" wiederholen wollte. Und abgesehen von dem speziellen Skalarprodukt, ist es ja eigentlich eine typische Aufgabe gewesen, die Surjektivität der kanonischen Einbettung zu zeigen. Außerdem will ich irgendwie die Zeit totschlagen, um mich von meiner Nervosität abzulenken. Dann ist morgen wohl der Funktionalanalysis-Tag! Ich wünsche Dir gutes Gelingen, wobei ich glaube, dass man sich um mich größere Sorgen machen muss.
19.02.2013, 20:36	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
Möchtest du vielleicht noch ein paar Übungsaufgaben haben?

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