Rekonstruieren von ganzrationalen Funktionen |
| 19.02.2013, 19:39 | Terminator IIX. | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| Rekonstruieren von ganzrationalen Funktionen Hallo und guten Abend , ich habe ein Problem mit zwei Matheaufgaben. Bin wieder einmal am Ende meines Wissens und Könnens angelangt und hoffe auf eure Unterstützung.. Die 1. Aufgabe: Gesucht ist eine ganzrationale Funktion vierten Grades , die im Punkt (0/1,5) eine waagerechte Tangente und im Wendepunkt (1/ 2/3 ) eine Tangente mit der Steigung m=-4/3. Die 2. Aufgabe: Gesucht ist eine ganzrationale Funktion dritten Grades , deren Graph im Punkt (1/0) die x-Achse berührt und die im Punkt (3/f(3)) eine waagerechte Tangente besitzt. Weiterhin schneidet die Parallele zur x-Achse mit der Gleichung y=2 den Graphen von f in seinem Wendepunkt. Meine Ideen: Also bei der 1. Aufgabe bin ich so weit gekommen: f(x)=ax^4+bx^3+cx^2+dx+e f '(x)=4ax^3+2bx^2+2cx+d f''(x)=12ax^2+6bx+2c f'''(x)=24ax+6b f(0)=1,5=e f'(0)=0=d f'(1)=-4/3= -9,48a+5,3b-2,6c f''(1)=0=12a+6b+2c f(1)=2/3=0,2a+0,3b+0,4c+1,5 I.0=9,48a+5,3b+2,6c-1,3 II.0=12a+6b+2c III.0=0,2a+0,3b+0,4c+0.9 Bei der 2. hab ich nicht mehr durch geblickt. Ich hoffe sehr jemand kann mir helfen Beides Aufgaben zu lösen MFG |
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| 19.02.2013, 20:05 | Dustin | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Hallo Terminator,
Bei der dritten und letzten Gleichung hast du wohl was durcheinandergebracht. Du musst ja jeweils für x=1 einsetzen... e=1,5 und d=0 stimmt schonmal. Wenn du die restlichen Gleichungen richtig hinschreibst, hast du ein Gleichungssystem mit drei Gleichungen und drei Unbekannten. Weißt du denn gar nicht, wie man so etwas löst? Das hast du doch sicher schon mal gesehen. Bei Aufgabe 2 kannst du ja schonmal alles zusammenschreiben, was du da an Gleichungen aufstellen kannst. Viele Grüße Dustin |
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| 19.02.2013, 20:12 | Terminator IIX. | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ich schaffe es nicht , viel zu verwirrt kannst du mir dabei helfen |
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| 19.02.2013, 20:25 | Dustin | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Das hab ich doch grad schon 
Also bleiben wir erstmal bei Aufgabe 1. Du schreibst ja schon ganz richtig: f(x)=ax^4+bx^3+cx^2+dx+e f '(x)=4ax^3+3bx^2+2cx+d f''(x)=12ax^2+6bx+2c f'''(x)=24ax+6b [Da war ein Tippfehler von dir drin, den ich korrigiert hab.] Was ist demzufolge f(1), f'(1) und f''(1)? |
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| 19.02.2013, 20:34 | Terminator IIX. | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
f(1)=a+b+c+d+1,5 f'(1)=12a+3b+2c f''(1)=24a+6b+2c Aber da Fehlen ja die Ergebnisse , also so zum Bespiel f'(0)=0 ...? ): |
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| 19.02.2013, 20:43 | Dustin | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Da sind immer noch zwei Fehler drin. Einer davon ist, dass die 12 eine 4 sein muss. Den anderen findest du dann selber
Außerdem weißt du ja schon, dass d=0 ist. Die Ergebnisse kannst du ja aus der Angabe ablesen. Das hattest du ja auch schon richtig gemacht: f(1)=2/3; f'(1)=-4/3; f''(1)=0 Damit haben wir dann drei Gleichungen mit drei Unbekannten, die dann zu lösen wären. |
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| 19.02.2013, 20:59 | Terminator IIX. | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
a+b+c+0+1,5=2/3 4a+3b+2c=4/3 12a+6b+2c=0 Bräuchte dann Hilfe beim Auflösen |
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| 19.02.2013, 21:05 | Dustin | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
OK, ich fang dann mal an: Zum Beispiel kann man die erste Gleichung nach a auflösen: a+b+c+3/2=2/3 ==> a= 2/3-3/2-b-c ==> a=-5/6-b-c Das setzt du jetzt für a in beide anderen Gleichungen ein, so dass du nur noch zwei Gleichungen mit zwei Unbekannten hast. Das Spielchen wiederholst du dann und hast dann nur noch eine Gleichung mit einer Unbekannten, die du dann auflösen kannst. |
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| 19.02.2013, 21:14 | Terminator IIX. | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
a+b+c+3/2=2/3 Warum zwei mal 2/3 ? |
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| 19.02.2013, 21:18 | Dustin | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Da steht nur einmal 2/3. Das andere ist 3/2, was dasselbe ist wie 1,5. |
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| 19.02.2013, 21:37 | Terminator IIX. | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Hast du b=0 und c=-1 a=0,2 ? |
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| 19.02.2013, 21:41 | Dustin | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Nein, aber ich vermute, das liegt daran, dass du die Brüche auf eine Nachkommastelle gerundet hast. Du musst schon mit den exakten Brüchen rechnen. |
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| 19.02.2013, 21:46 | Dustin | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Also, mit a=1/6 statt 0,2 stimmt's. |
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| 19.02.2013, 21:50 | Terminator IIX. | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
0=-2-b-2c 0=-10-6b-10c Hm..so weit müsste es aber richtig sein oder ? |
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| 19.02.2013, 21:52 | Terminator IIX. | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
genau |
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| 19.02.2013, 21:53 | Terminator IIX. | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ich will echt nicht stören , aber kannst du mir auch bei der 2. Aufgabe helfen ? Nur wenn du Lust hast |
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| 19.02.2013, 21:54 | Dustin | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ja, dein Rechenweg wird richtig gewesen sein, du hast nur unzulässigerweise gerundet, was mich verwirrt hat 
Prinzip verstanden? Wollen wir heute noch die 2. Aufgabe zusammen machen? Dann schreibst du aber erstmal alles hin, was du schon von selber weißt! |
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| 19.02.2013, 22:20 | Terminator IIX. | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Bin am Schreiben/Denken , Moment |
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| 19.02.2013, 22:38 | Terminator IIX. | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
f(x)=ax^3+bx^3+cx+d f'(x)=3ax^2+2bx+c f''(x)=6ax+2b f(1)=0=a+b+c+d f'(3)=0=27a+6b+c f''(3)=0=18a+2b f(3)=2=27a+9b+3c+d So weit bin ich gekommen |
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| 19.02.2013, 23:12 | Dustin | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Die ersten beiden Gleichungen sind OK. Die letzten beiden sind falsch, weil du da voraussetzt, dass der Wendepunkt bei x=3 ist, was aber nirgendwo steht. Die letzten beiden Gleichungen lauten damit richtig: f''(w)=0=6aw+2b f(w)=2=aw³+bw²+cw+d w ist dabei der x-Wert vom unbekannten Wendepunkt. Die fünfte Gleichung (man braucht fünf, weil es fünf Unbekannte gibt: a,b,c,d,w) bekommt man, weil der Graph im Punkt (1/0) die x-Achse nicht schneiden, sondern berühren soll. Deshalb muss auch f'(1)=0 gelten (die x-Achse ist nämlich die waagrechte Tangente im Punkt (1/0).) |
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| 19.02.2013, 23:20 | Terminator IIX. | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Also das schaff ich nicht...kannst du mir zeigen wie ? |
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| 19.02.2013, 23:25 | Dustin | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Hab auch grad überlegt. Dass man so eine Gleichung wie 2=aw³+bw²+cw+d lösen soll, kann ich mir nicht vorstellen. Wahrscheinlich soll man tricksen. Und zwar folgendermaßen: Eine ganzrationale Funktion 3. Grades hat ja normalerweise genau zwei Extrema. Hier kennen wir beide Extremstellen, nämlich...? Der Wendepunkt liegt dann genau zwischen den beiden Extremstellen (das ist aber nur bei einer Funktion 3. Grades so). Damit weißt du dann, was du für w einsetzen kannst. |
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| 19.02.2013, 23:38 | Terminator IIX. | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Aufjedenfalll ist (1/0) ein Extrema , da bei x=3 eine Waagerechtetangente vorhanden ist , würde ich auf 2 tippen ? |
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| 19.02.2013, 23:46 | Dustin | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Genau, die Wendestelle ist w=2. Der Rest lässt sich dann analog zur 1.Aufgabe lösen. |
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| 19.02.2013, 23:49 | Terminator IIX. | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Jetzt für alle w einfach 2 einsetzen ? |
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| 19.02.2013, 23:57 | Dustin | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ja. |
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| 19.02.2013, 23:59 | Terminator IIX. | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Das Lösen schaff ich eh nich , aber ich bedanke mich für die tolle Hilfe !!! |
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| 20.02.2013, 00:05 | Dustin | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Pessimist 
Hast's doch bei der 1. Aufgabe nach einem kleinen Anstoß auch hinbekommen
Na jedenfalls freu ich mich, dass ich dir eine Hilfe war. Gut Nacht
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| 20.02.2013, 00:11 | Terminator IIX. | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Dir auch , vielen dank nochmal. |
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