Teilmenge von IR

20.02.2013, 01:56	matze(2)	Auf diesen Beitrag antworten »
Teilmenge von IR Hallo, sei $\begin{eqnarray} \mathcal A := \{ 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, (, ), +, -, , /, \end{eqnarray}$ ^ $\begin{eqnarray} , \lim, x, y, z, \to \Sigma, \Pi, i, j, k, =, \infty \} \end{eqnarray}$ eine offensichtlich endliche Menge. Sei $\begin{eqnarray} M_{\mathcal A} := \{m \in \mathbb R : m \text{ ist durch eine endlich lange Folge von Zeichen aus } \mathcal A \text{ darstellbar} \} \end{eqnarray}$ Nun frage ich mich, wie $\begin{eqnarray} M_{\mathcal A} \end{eqnarray}$ aussieht. Scheinbar gilt $\begin{eqnarray} \mathbb Q \in M_{\mathcal A} \end{eqnarray}$ . Mir ist auch noch keine irrationale Zahl eingefallen, die nicht in $\begin{eqnarray} M_{\mathcal A} \end{eqnarray}$ liegt. Würde aber $\begin{eqnarray} M_{\mathcal A} = \mathbb R \end{eqnarray}$ gelten, wäre $\begin{eqnarray} \mathbb R \end{eqnarray}$ abzählbar, was ja nicht sein kann. Ich suche also Elemente der Menge $\begin{eqnarray} \mathbb R \backslash M_{\mathcal A} \end{eqnarray*}$ Viele Grüße Matthias
20.02.2013, 07:12	ollie3	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Teilmenge von IR hallo, diese aufgabe gefällt mir sehr gut, habe mir gedanken darüber gemacht, ich glaube es gibt unendlich viele algebraische zahlen(also nullstellen von polynomen mit ganzzahligen koeffizienten), die nicht in deiner menge liegen, denn man kann ja nicht jede nullstelle von solchen polynomen automatisch als summe, produkt, grenzwert usw. von endlich vielen grössen darstellen... gruss ollie3
24.02.2013, 23:36	sepp55	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} \mathcal M_{\mathcal A} \end{eqnarray}$ ist die freie Halbgruppe über einer endlichen Menge und damit abzählbar unendlich also bijektiv zu $\begin{eqnarray} \mathbb Q \end{eqnarray}$ . Elemente in $\begin{eqnarray} \mathbb R \setminus \mathcal M_{\mathcal A} \end{eqnarray}$ kannst du a priori nicht angeben; es gibt keine kanonische Einbettung nach $\begin{eqnarray} \mathcal M_{\mathcal A} \hookrightarrow \mathbb R \end{eqnarray}$ . Du kannst aber für jede reelle Zahl $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ eine Einbettung finden, so dass $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ im Bild ist.
27.02.2013, 01:34	mathinitus	Auf diesen Beitrag antworten »
Mir ist nicht richtig klar, was du mit $\begin{eqnarray} m \text{ ist durch eine endlich lange Folge von Zeichen aus } \mathcal A \text{ darstellbar} \end{eqnarray}$ meinst. Das impliziert ja, dass du endliche Folgen von A betrachtest, die zusätzlich noch einen "Sinn" ergeben. Schreibst du alle Zeichen der Folge hintereinander, so kannst du also nie das Summen- oder das Produktzeichen verwenden. Scheinbar willst du also noch zusätzlich eine bestimmte Positionierung bestimmen können. Wenn du die Zeichen also irgendwie auf dem Blatt Papier positionieren willst, so gibt es nun doch wieder überabzählbar viele Möglichkeiten
27.02.2013, 03:13	RavenOnJ	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Zeichenfolgen ergeben dadurch einen Sinn, indem sie entsprechend einer Grammatik angeordnet werden und wohldefinierte Ausdrücke ergeben. Es gibt also auch sinnlose Zeichenfolgen wie z.B. $\begin{eqnarray} ),1,\infty \end{eqnarray}$ . Aber auch nicht wohldefinierte wie $\begin{eqnarray} 1,/,0 \end{eqnarray}$ oder $\begin{eqnarray} \sum,(,i,=,1,),(,i,\to,\infty,),(,1,/,i,) \end{eqnarray}$ . Die grammatikalisch korrekten und wohldefinierten (eine einelementige Zahlenmenge bezeichnenden), d.h. die sinnvollen Ausdrücke sind aber mit Sicherheit abzählbar, da nur Ausdrücke endlicher Länge mit Zeichen aus einem endlichen Alphabet berücksichtigt werden und die sinnvollen Ausdrücke davon eine Teilmenge bilden.

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