Grenzwert einer Folge

Neue Frage »

Duff-Man02 Auf diesen Beitrag antworten »
Grenzwert einer Folge
Hallo,

ich hab hier folgende Aufgabe:
Eine Anlage wird künstlich bewässert. Sie enthält zum Begin eines Auffüllungsprozesses 12000l Wasser. Im Laufe einer Zeiteinheit verliert die Anlage 5% ihrer Wassermenge. Am Ende einer jeden Zeiteinheit werden 1600l Wasser nachgefüllt.
a) Welche Wassermenge wird im Rahmen eines Langzeitprozesses erreicht?
Exponentialgleichung erstellen, mit +1600 pro Zeiteinheit, t gegen unendlich laufen lassen und 1600 rausbekommen. Richtig soweit?
b) Wieviele Zeiteinheiten werden benötigt, um die in a bestimmte Menge mit einer Genauigkeit von 2000l zu erreichen.
Und die Formulierung verstehe ich nicht. Soll ich berechnen, wieviele Zeiteinheiten benötigt werden, um 3600l zu erreichen, oder was ist mit dieser "Genauigkeit" gemeint?

Danke!
Helferlein Auf diesen Beitrag antworten »

Zu a) Wie kommst Du auf eine Exponentialgleichung?
Es geht hier um den Grenzwert einer Folge.

Zu b) Das hast Du richtig verstanden. Es ist gefragt, wann der Wert um weniger als 2000 l vom Grenzwert abweicht. Sollte der 1600 sein, dann soll das kleinste n bestimmt werden, für dass die Folge aus a nur noch Werte zwischen 400 und 3600 annimmt.
Duff-Man Auf diesen Beitrag antworten »

Erstmal danke für die Antwort!
a) hätte ich jetzt so gemacht:

[attach]28616[/attach]

Wie kommst du auf 400? Wenn das oben stimmen sollte, dann kann man doch nur von 3600 ausgehen, oder? Sonst wär das ja 1600-2000..


Edit(Helferlein): Link zu externer Bilddatei entfernt und durch Anhang ersetzt. Bitte nur die Funktion "Dateianhänge" unterhalb des Eingabefeldes benutzten, da nur so gewährleistet ist, dass das Bild auch immer zusammen mit dem Beitrag verfügbar ist.
Helferlein Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn ich das richtig sehe, gehst Du von einer Funktion aus.
Dann berücksichtigst Du aber beispielsweise nicht, dass am Ende jeder Zeiteinheit 1600 l nachgefüllt werden. Bei dir würde das einmalig passieren.
Zudem verdunsten bei Dir immer nur 5% von dem, was von den anfänglichen 12.000 übrig ist. Das nachgefüpllte Wasser verdunstet aber ebenfalls.

Zu 2) Da hab ich ein falsches Vorzeichen drin. Abweichung um 2000 vom Grenzwert g bedeutet zunächst einmal nur das Intervall von g-2000 bis g+2000. Ob das im Sachzusammenhang Sinn macht, muss man dann schauen. Hier ist beispielsweise eine negative Wassermenge unsinnig, so dass sich das Intervall auf 0 bis 3600 beschränken würde. Wenn die Folge monoton fällt, dann ist darüberhinaus auch klar, dass nach dem Unterschreiten von 3600 die Bedingung erfüllt ist. Das liegt hier aber nur an dem Zusammenhang. Es gibt durchaus Funktionen, die zwar die Genauigkeit nach oben einhalten, nach unten aber erst einmal nicht.
Duff-Man Auf diesen Beitrag antworten »

Also einfach die 1600 mit in die letze Klammer nehmen?
Meinem Taschenrechner scheint es egal zu sein, wo die 1600 steht. Ich habs manuell mit einigen Werten für t probiert und er scheint die immer bei jeder Zeiteinheit mituberücksichtigen, egal wo sie steht.
Und b) wäre dann der Ausdruck =3600 gesetzt und nach t aufgelöst, oder?
Helferlein Auf diesen Beitrag antworten »

Das Problem ist nach wie vor, dass es hier gar nicht um eine Funktion, sondern eine Folge geht.
Es werden endliche Zeitabschnitte betrachtet und nicht fortlaufende Zeit. Also kannst Du keine Funktion zur Beschreibung nutzen.

Dein Ansatz für die Wassermenge ist dieser:

t=0 -> 12000
t=1 -> 13000 (12000*0,95+1600)
t=2 -> 12430 (12000*0,9025+1600)
usw.

Tatsächlich entwickelt sich die Wassermenge aber ganz anders:

t=0 -> 12000
t=1 -> 13000 (12000*0,95+1600)
t=2 -> 13950 (13000*0,95+1600)

Du solltest erst einmal eine Folge finden, die den Prozess beschreibt, am einfachsten in rekursiver Form. Wenn Du die dann in explizite Form bringst, hast Du einen Term, mit dem Du rechnen kannst.

Welches Thema behandelt ihr denn gerade?
 
 
Duff-Man Auf diesen Beitrag antworten »

Achsooo. Dann ist das ja a(n+1)=an*0,95+1600 und für große Werte ist der Grenzwert 32000. Dann für für b gucken, wann man sich 30000l annähert und das ist etwa nach 45 Zeiteinheiten, oder? Klar ist das eine Folge. Der Gehalt des Beckens nimmt ja nicht ab, sondern zu.
Das sind Übungsaufgaben. Also von allem etwas. Manchmal fällt's mir schwer auseinanderzuhalten, welches Prinzip wo hin gehört.
Danke!
Helferlein Auf diesen Beitrag antworten »

Das sieht doch nahezu perfekt aus Freude
Duff-Man Auf diesen Beitrag antworten »

Noch eine Kleinigkeit verwirrt
Wie komme ich denn zur Expliziten Form dieser Folge? Mein Taschenrechner kann das schön mit der rekursiven lösen. Also mit Startwert 12000 und für 500 weitere und dann macht er das. Aber wie geht das mit der expliziten Form?
Ich hab mir die ersten Werte aufgeschrieben und etwas rumprobiert, kann aber das Muster noch nicht erkennen...
Helferlein Auf diesen Beitrag antworten »

Ich würde mir ein kleineres n suchen und die Folge bis auf die Anfangsglieder zurückführen. Hier haben wir beispielsweise für n=3:







Daraus lässt sich eine Vermutung für erstellen.
Duff-Man Auf diesen Beitrag antworten »

Das war ja nicht ganz ohne. ;D
Aber danke für die Hilfestellung. smile
Helferlein Auf diesen Beitrag antworten »

Und dabei ist das noch nicht das Ende der Fahnenstange Augenzwinkern

Dein Term lässt sich noch weiter zusammenfassen zu


Duff-Man Auf diesen Beitrag antworten »

Habs oben noch etwas angepasst.
Mit dem was ich hatte kann man eigentlich auch schon rechnen.
Deins ist natürlich übersichtlicher..
Nochmals danke.
Neue Frage »
Antworten »



Verwandte Themen

Die Beliebtesten »
Die Größten »
Die Neuesten »