Konvergenz+Grenzwerte

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Meister Eder Auf diesen Beitrag antworten »
Konvergenz+Grenzwerte
Untersuche jeweils auf Konvergenz



und bestimme ggf. folgende Grenzwerte von



und



Aaalso:

(a) divergiert wegen leider kann ich diese Abschätzung nicht beweisen - habs nur per Excel geprüft traurig

(b) und (c) nitschewo, nada, null, nothing... traurig traurig
Meister Eder Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Konverenz+Grenzwerte
Hat da wirklich niemand eine Idee?
Meister Eder Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Konverenz+Grenzwerte
Sooo ... Teil (a) ist erschlagen!

Man kann nämlich zeigen, dass

und deshalb gibt es ein so daß

=> Minorantenkriterium

Jetzt bleiben noch (b) und (c)
Hat wirklich keiner einen Plan? So schwer können die doch nicht sein
Chris00 Auf diesen Beitrag antworten »

Kennst du von dieser Folge den Grenzwert?

Meister Eder Auf diesen Beitrag antworten »

=e. Das ist mir schon klar.

Unklar ist was du mir damit sagen möchtest.
Und wie gesagt Teil (a) ist erledigt.
Chris00 Auf diesen Beitrag antworten »

WEnn das e ist, und du hast da stehen e-e? Warum gibts das dann 1?
 
 
Mystic Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Chris00
WEnn das e ist, und du hast da stehen e-e? Warum gibts das dann 1?

Oh Gottchen... geschockt

Bei dir würde offenbar auch



für dann 0 ergeben, denn schließlich steht im Zähler dann e -e...

P.S.: Diese Schnellschüsse aus der Hüfte sind sowas von tödlich... Aber leider für dich selbst... unglücklich
Meister Eder Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Chris00
WEnn das e ist, und du hast da stehen e-e? Warum gibts das dann 1?


Weil der Nenner auch gegen 0 geht und die Grenzwertsätze hier darum eben nicht anwendbar sind.
Chris00 Auf diesen Beitrag antworten »

hm wollte damit eigentlich nur sagen, dass a_n eine Nullfolge ist. Hab nur überflogen und gelesen, dass dir keine hilft smile Naja...
Ungewiss Auf diesen Beitrag antworten »

Zu c) hilft vllt das weiter :
Mit der PBZ des Cotangens ist


Wie hast du denn den Grenzwert, mit dem du a) erschlagen hast, gezeigt? Ein kleiner Hinweis reicht mir schon.
Meister Eder Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Ungewiss
Wie hast du denn den Grenzwert, mit dem du a) erschlagen hast, gezeigt? Ein kleiner Hinweis reicht mir schon.


Fasse


als Differenzenquotienten von

an der Stelle auf.

Das ist sicher nicht besonders elegant aber auch nicht falsch glaube ich.

Bei Teil (b) habe ich mir überlegt die Reihe wegen des Alternierens irgendwie mit den ersten Summanden abzuschätzen.

Ich könnte mir vorstellen, daß man auch bei (c) irgendwie abschätzen kann.
Jetzt guck ich mir das mit der PBZ des Kotangens erst mal in Ruhe an.
Meister Eder Auf diesen Beitrag antworten »

Die Partialbruchzerlegung des Kotangens hyperbolicus

liefert

Damit geht (c) also ganz leicht. Ich weiß aber nicht ob ich diese Partialbruchzerlegung so einfach benutzen darf.

(b) ?
Jello Biafra Auf diesen Beitrag antworten »

Statt die PBZ des Cot ins Feld zu führen, kannst Du auch abschätzen:

Seien

Dann gilt:



Daraus ergibt sich nach Integration:



Aufsummieren liefert dann:

Mystic Auf diesen Beitrag antworten »

@Jello Biafra...

Ja, superelegante Lösung und wohl auch die vom Problemsteller intendierte... Freude

Edit: Ich find's halt nur schade - wenn ich mir diese OT-Bemerkung noch erlauben darf - dass diese Lösung, wenn es sich, wie ich annehme, um eine Übungsaufgabe handelt, vom Threadersteller dann als die seine präsentiert werden wird, obwohl er dazu nicht den geringsten Beitrag geleistet hat oder in seinen Worten nitschewo, nada, null, nothing... unglücklich
Jello Biafra Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Meister Eder
Bei Teil (b) habe ich mir überlegt die Reihe wegen des Alternierens irgendwie mit den ersten Summanden abzuschätzen.
Diese Idee ist gut!

Mit etwas Vorarbeit leisten, kannst Du hier tatsächlich so ähnlich vorgehen.


Ganz allgemein gilt nämlich:

Ist eine positive, streng monoton fallende Folge und ist die Folge der Differenzen ebenfalls streng monoton fallend, dann gilt:




@Mystic: Ich denke, dass Meister Eder hier aber nun die Möglichkeit hat sich seine Punkte redlich zu verdienen. Augenzwinkern
K89 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Mystic
vom Threadersteller dann als die seine präsentiert werden wird, obwohl er dazu nicht den geringsten Beitrag geleistet hat

Ich glaube nicht, daß er die Lösung als seine präsentiert

Er sagt wohl eher, daß er einen HAL 9000 hat
RavenOnJ Auf diesen Beitrag antworten »

@Jello Biafra
Damit hast du das Wesentliche für die Lösung von b) auch verraten. Bleibt ihm nur noch, die Beziehung



zu beweisen und natürlich, dass die Folge der Differenzen streng monoton fallend ist.
Jello Biafra Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von RavenOnJ
@Jello Biafra
Damit hast du das Wesentliche für die Lösung von b) auch verraten.

Soll nicht wieder vorkommen.
Meister Eder Auf diesen Beitrag antworten »

Wow, sensationell (Zitat: M. Lanz)
Vielen Dank an Jello!!!
Ich fand die Aufgaben sauschwer und bin froh sie kapiert zu haben.
RavenOnJ Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Jello Biafra
Ganz allgemein gilt nämlich:

Ist eine positive, streng monoton fallende Folge und ist die Folge der Differenzen ebenfalls streng monoton fallend, dann gilt:




Es reicht doch nicht, zu fordern, dass positive, (streng) monoton fallende Folge ist. Sie muss auch Nullfolge sein, sonst konvergiert nicht und die obige Ungleichung gilt auch nicht. Ist aber monoton fallende Nullfolge, dann konvergiert und die Reihe, die aus der Folge der Differenzen gebildet wird, konvergiert ebenfalls (sie konvergiert sogar absolut) und ist größer oder gleich 0, wenn die Folge der Differenzen ebenfalls monoton fallend ist.

Es müsste also eigentlich heißen:

Ist eine positive, monoton fallende Nullfolge, und ist die Folge der Differenzen ebenfalls monoton fallend, dann gilt:



Ist die Folge der Differenzen sogar streng monoton fallend (dies impliziert, dass ebenfalls streng monoton fallend ist), dann gilt


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