lineare Algebra - Matrizen - Gleichungen lösbar?

20.02.2013, 11:10

strafedonkey

lineare Algebra - Matrizen - Gleichungen lösbar?

Hallo, es geht darum, zu überprüfen, ob das Gleichungssystem aus einer mxn-Matrizenrechnung lösabr ist. Eine solche gleichung hat die Form
Ax=b

wobei A eine Matrix, x ein variabler Spaltenvektor und b der Ergebnisvektor ist

Gemäß meiner Unterlage kann man prüfen, ob ein Gleichungssystem lösbar ist, indem man den Rang der originalen Matrix A mit dem Rang der um den Spaltenvektor b erweiterten Matrix (A|b) vergleicht.

Ich habe folgende aufgabe:
Sind folgende gleichungssystmee lösbar?
b) $\begin{eqnarray*} \left(\begin{array}{ccc} 0 & 1 & 1\\ 1 & 2 & 3\\ 1 & 1 & 2 \end{array}\right)\left(\begin{array}{c} x_{1}\\ x_{2}\\ x_{3} \end{array}\right)=b\text{ für }b=\left(\begin{array}{c} 1\\ -1\\ -1 \end{array}\right)\text{ für }b=\left(\begin{array}{c} 5\\ 5\\ 5 \end{array}\right) \end{eqnarray*}$

Ich habe hier mal probeweise den Fall b=(5,5,5) durchgerechne.t Gemäß lösung ist der Rang der Ursprungsmatrix 3 ud der der erweiterten Matrix lediglich 2. Ich habe das folgendermaßen überprüft und komme auf eine andere Lösung, nämlich Rg(A)=Rg(A|b)=3

wir verlgeichen den Rang der erweiterten Matrix

$\begin{eqnarray*} \left(\begin{array}{cccc} 0 & 1 & 1 & 5\\ 1 & 2 & 3 & 5\\ 1 & 1 & 2 & 5 \end{array}\right) \end{eqnarray*}$

dritte zuiele minus erste Zeile

$\begin{eqnarray*} \left(\left(\begin{array}{cccc} 0 & 1 & 1 & 5\\ 1 & 2 & 3 & 5\\ 1 & 0 & 1 & 0 \end{array}\right)\right) \end{eqnarray*}$

vierte spalte minus fünf mal zweite spalte

$\begin{eqnarray*} \left(\begin{array}{cccc} 0 & 1 & 1 & 0\\ 1 & 2 & 3 & -5\\ 1 & 0 & 1 & 0 \end{array}\right) \end{eqnarray*}$

zweite zeile minus letzte zeile

$\begin{eqnarray*} \left(\begin{array}{cccc} 0 & 1 & 1 & 0\\ 0 & 2 & 2 & -5\\ 1 & 0 & 1 & 0 \end{array}\right) \end{eqnarray*}$

zweite zeile minus zweimal erste zeile

$\begin{eqnarray*} \left(\begin{array}{cccc} 0 & 1 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & -5\\ 1 & 0 & 1 & 0 \end{array}\right) \end{eqnarray*}$

erste spalte plus zweite spalte

$\begin{eqnarray*} \left(\begin{array}{cccc} 1 & 1 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & -5\\ 1 & 0 & 1 & 0 \end{array}\right) \end{eqnarray*}$

erste spalte minus dritte spalte

$\begin{eqnarray*} \left(\begin{array}{cccc} 0 & 1 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & -5\\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{array}\right) \end{eqnarray*}$

erste Zeile minus ldritte zeile

$\begin{eqnarray*} \left(\begin{array}{cccc} 0 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & -5\\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{array}\right) \end{eqnarray*}$

drei linear unabhängige zielen und spalten. Rg(A)=Rg(A|b)

20.02.2013, 11:19

Helferlein

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: lineare Algebra - Matrizen - Gleichungen lösbar?

Zitat:

Original von strafedonkey
Gemäß lösung ist der Rang der Ursprungsmatrix 3 ud der der erweiterten Matrix lediglich 2.

Das ist gar nicht möglich, da die Ursprungsmatrix Bestandteil der erweiterten ist.
Wie sollte der Rang, also die Anzahl der linear unabhängigen Spalten, durch Hinzufügen weiterer Spalten kleiner werden?

20.02.2013, 11:29

strafedonkey

Auf diesen Beitrag antworten »

Ohje, es sollte genau umgekehrt sein :\. Wer lesen kann.

ok, anhand dessen habe ich etzut den Rang der Ursprungsmatrix verglichen und komme auf das richtige Ergebnis, hier meine Lösung
Wirn untersuchen und verlgeichen wieder die ränge

Zwieter fall:

Rang der Ursprungsmatrix:

$\begin{eqnarray*} \left(\begin{array}{ccc} 0 & 1 & 1\\ 1 & 2 & 3\\ 1 & 1 & 2 \end{array}\right) \end{eqnarray*}$

subtraktion von erster zeile von letzte zeile

$\begin{eqnarray*} \left(\begin{array}{ccc} 0 & 1 & 1\\ 1 & 2 & 3\\ 1 & 0 & 1 \end{array}\right) \end{eqnarray*}$

zwiete spalte minus dritte spalte

$\begin{eqnarray*} \left(\begin{array}{ccc} 0 & 1 & 0\\ 1 & 2 & 1\\ 1 & 0 & 1 \end{array}\right) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \left(\begin{array}{ccc} 0 & 1 & 0\\ 1 & 2 & 1\\ 1 & 0 & 1 \end{array}\right) \end{eqnarray*}$

erste spalte minus dritte spalte

$\begin{eqnarray*} \left(\begin{array}{ccc} 0 & 1 & 0\\ 0 & 2 & 1\\ 0 & 0 & 1 \end{array}\right) \end{eqnarray*}$

zwei linear unabhängige Spalten und Zeilen, Rang ist 2.

wir verlgeichen den Rang der erweiterten Matrix

$\begin{eqnarray*} \left(\begin{array}{cccc} 0 & 1 & 1 & 5\\ 1 & 2 & 3 & 5\\ 1 & 1 & 2 & 5 \end{array}\right) \end{eqnarray*}$

dritte zuiele mit erste Zeile

$\begin{eqnarray*} \left(\left(\begin{array}{cccc} 0 & 1 & 1 & 5\\ 1 & 2 & 3 & 5\\ 1 & 0 & 1 & 0 \end{array}\right)\right) \end{eqnarray*}$

vierte spalte minus fünf mal zweite spalte

$\begin{eqnarray*} \left(\begin{array}{cccc} 0 & 1 & 1 & 0\\ 1 & 2 & 3 & -5\\ 1 & 0 & 1 & 0 \end{array}\right) \end{eqnarray*}$

zweite zeile minus letzte zeile

$\begin{eqnarray*} \left(\begin{array}{cccc} 0 & 1 & 1 & 0\\ 0 & 2 & 2 & -5\\ 1 & 0 & 1 & 0 \end{array}\right) \end{eqnarray*}$

zweite zeile minus zweimal erste zeile

$\begin{eqnarray*} \left(\begin{array}{cccc} 0 & 1 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & -5\\ 1 & 0 & 1 & 0 \end{array}\right) \end{eqnarray*}$

erste spalte plus zweite spalte

$\begin{eqnarray*} \left(\begin{array}{cccc} 1 & 1 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & -5\\ 1 & 0 & 1 & 0 \end{array}\right) \end{eqnarray*}$

erste spalte minus dritte spalte

$\begin{eqnarray*} \left(\begin{array}{cccc} 0 & 1 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & -5\\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{array}\right) \end{eqnarray*}$

erste Zeile minus ldritte zeile

$\begin{eqnarray*} \left(\begin{array}{cccc} 0 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & -5\\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{array}\right) \end{eqnarray*}$

drei linear unabhängige zielen und spalten. Rg(A|b)=3

Glecihung für b=(5,5,5) nicht lösbar.

20.02.2013, 11:40

Helferlein

Auf diesen Beitrag antworten »

Statt zweimal denselben Prozess zu machen, könntest Du auch allgemeiner zeigen, dass nur Vektoren $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} x\\y\\z \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} x=y-z \end{eqnarray*}$ die Gleichung erfüllen können.
Aber Dein Weg ist natürlich auch richtig.

Neue Frage »

Antworten »

lineare Algebra - Matrizen - Gleichungen lösbar?

Verwandte Themen