limes superior ungleichung

20.02.2013, 11:42

r4ndom19

limes superior ungleichung

Hallo,

ich möchte folgende Ungleichung zeigen:
$\begin{eqnarray*} \limsup_{n \to \infty } a_{n}+b_{n} \leq \limsup_{n \to \infty } a_{n} + \limsup_{n \to \infty } b_{n} \end{eqnarray*}$
Wobei beide Folgen beschränkt sind.
Daraus kann ich schonmal folgern, das beide Folgen eine konvergente Teilfolge haben und der limsup von beide existiert.

1. Wieso kann ich nicht den Standardbeweis für folgen benutzen?
Ich kann von beiden Folgen doch einfach den limes einer Teilfolge betrachten? Dann käme aber eine Gleichheit heraus.

2. Da dies aber ja scheinbar falsch sein muss wegen der Aufgabenstellung hier meine Beweisidee:

$\begin{eqnarray*} \limsup_{n \to \infty } a_{n} = a \limsup_{n \to \infty } b_{n} = b \end{eqnarray*}$
Das kann ich ja behaupten weil beide folgen beschränkt sind.
Außerdem gilt dann ja:
$\begin{eqnarray*} | a_{n} -a | < \epsilon | b_{n} -b | < \epsilon \end{eqnarray*}$
Und damit:
$\begin{eqnarray*} a_{n} < \epsilon + a b_{n} < \epsilon + b \end{eqnarray*}$

Dann gilt aber auch:
$\begin{eqnarray*} \limsup_{n \to \infty } a_{n}+b_{n} < 2 \epsilon + a+b \end{eqnarray*}$

Mein Problem ist hier aber noch, das es zu keinem kleiner gleich, sondern einem Kleiner kommt, hab ich irgendwo einen kleinen Fehler oder ist der ganze Beweis fehlerhaft?

Ergänzung: Die Folgen sollten eigentlich Teilfolgen sein, und da a_n und b_n beliebige Teilfolgen sind, gilt es meiner Ansicht nach auch für a_n+b_n

20.02.2013, 11:57

HAL 9000

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Zitat:

Original von supromo
Außerdem gilt dann ja:
$\begin{eqnarray*} | a_{n} -a | < \epsilon | b_{n} -b | < \epsilon \end{eqnarray*}$

Was willst du damit sagen??? Aus $\begin{eqnarray*} \limsup_{n \to \infty} a_n = a \end{eqnarray*}$ kannst du allenfalls folgern, dass es eine Teilfolge $\begin{eqnarray*} \left( a_{n_k} \right)_{k=1,2,\ldots} \end{eqnarray*}$ mit

$\begin{eqnarray*} \left| a_{n_k} -a \right| < \epsilon \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} k\geq k_0(\epsilon) \end{eqnarray*}$

gibt, und aus $\begin{eqnarray*} \limsup_{n \to \infty} b_n = b \end{eqnarray*}$ entsprechend, dass es eine Teilfolge $\begin{eqnarray*} \left( b_{n_k'} \right)_{k=1,2,\ldots} \end{eqnarray*}$ mit

$\begin{eqnarray*} \left| b_{n_k'} -b \right| < \epsilon \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} k\geq k_0'(\epsilon) \end{eqnarray*}$

gibt, wobei die zugehörigen Indexfolgen $\begin{eqnarray*} (n_k) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} (n_k') \end{eqnarray*}$ i.a. verschieden sind!!!

20.02.2013, 12:44

r4ndom19

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RE: limes superior ungleichung
Wie schon im Edit gesagt, ich wollte natürlich Teilfolgen betrachten. Hier nocheinmal ordentlich:

$\begin{eqnarray*} \limsup_{n \to \infty } a_{n}+b_{n} \leq \limsup_{n \to \infty } a_{n} + \limsup_{n \to \infty } b_{n} \end{eqnarray*}$
Wobei beide Folgen beschränkt sind.
Daraus kann ich schonmal folgern, das beide Folgen eine konvergente Teilfolge haben und der limsup von beide existiert.

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } a_{n_{k}} = a \lim_{n \to \infty } b_{n'_{k}} = b \end{eqnarray*}$
Dann gibt es nun zwei Punkte ab denen die Folgen jeweils konvergieren.
Wenn diese Punkte k und k' sind gilt:

$\begin{eqnarray*} \ n > k_{\epsilon}, k'_{\epsilon} \end{eqnarray*}$
Dann gilt für alle diese n:
$\begin{eqnarray*} | a_{n_{k}} -a | < \epsilon | b_{n'_{k}} -b | < \epsilon \end{eqnarray*}$
Und damit:
$\begin{eqnarray*} a_{n_{k}} < \epsilon + a b_{n_{k'}} < \epsilon + b \end{eqnarray*}$

Dann gilt aber auch:
$\begin{eqnarray*} \limsup_{n \to \infty } a_{n}+b_{n} < 2 \epsilon + a+b \end{eqnarray*}$
Da die TF beliebig war müsste das doch stimmen?

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