Rekursive Folge

20.02.2013, 15:02	fklaus	Auf diesen Beitrag antworten »
Rekursive Folge Meine Frage: Hallo, ich sollte die Konvergenz der dieser Folge nachweisen (mit dem Monotoniekriterium): $\begin{eqnarray} x_{0}: =1 \qquad x_{n+1} :=\frac{1}{1+x_{n}} \end{eqnarray}$ Meine Ideen: Also die Folge ist offensichtlich <=1 Dann muss ich nur noch die Monotonie nachweisen, also $\begin{eqnarray} x_{n} > x_{n+1} \end{eqnarray}$ Dafür setze ich einfach n+1 ein: $\begin{eqnarray} \frac{1}{1+x_{n}} > \frac{1}{1+\frac{1}{1+x_{n}} } \Rightarrow \frac{1}{1+x_{n}} > \frac{1+x_{n} }{2+x_{n} } \Rightarrow 2+x_{n} >1+2x_{n} +x_{n} ^2 \end{eqnarray}$ So, ist das bis hierher richtig? und wie kommen ich nun weiter?
20.02.2013, 15:07	Jello Biafra	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Rekursive Folge Bei vielen rekursiv definierten Folgen ein zielführender Ansatz - hier ohne Weiteres zutun eher ungünstig, da die Folge nicht monoton ist.
20.02.2013, 15:12	klausi1732	Auf diesen Beitrag antworten »
Musste mich neu einloggen... Kann ich den die Folge explizit darstellen?
20.02.2013, 15:19	Jello Biafra	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, das geht! Hast Du schon mal was von den Fibonacci-Zahlen gehört?
20.02.2013, 15:22	klausi1732	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja die kenn ich, das war ja die Folge $\begin{eqnarray} f_{n} = f_{n-2} +f_{n-1} \end{eqnarray}$ oder?
20.02.2013, 15:35	Jello Biafra	Auf diesen Beitrag antworten »
Genau. Und induktiv kannst Du leicht verifizieren, dass $\begin{eqnarray} x_{n+1}=\frac{f_n}{f_{n+1}}. \end{eqnarray}$ Mit der (bekannten?) expliziten Darstellung der Fibonaccizahlen kommst Du dann zur expliziten Darstellung Deiner Folge. Das wäre also eine Möglichkeit. Aber neben den bereits genannten kann ich Dir auch noch das Stichwort 'Goldener Schnitt' geben, so dass Dir Boardsuche und/oder Google eine Fülle weiterer Inspiration liefern sollten.
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20.02.2013, 15:38	klausi1732	Auf diesen Beitrag antworten »
Werd mich mal ransetzten, vielen dank!
20.02.2013, 17:36	Guppi12	Auf diesen Beitrag antworten »
Alternativ könnte man auch die Konvergenz der beiden Teilfolgen $\begin{eqnarray} (x_{2j})_{j\in\mathbb{N}} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} (x_{2j+1})_{j\in\mathbb{N}} \end{eqnarray}$ zeigen. (Diese sind nämlich beide monoton) Deren Grenzwerte lassen sich dann einfach bestimmen und falls sie übereinstimmen konvergiert auch $\begin{eqnarray} (x_n)_{n\in\mathbb{N}} \end{eqnarray}$ . Grüße
21.02.2013, 14:53	Jello Biafra	Auf diesen Beitrag antworten »
Eine weitere Möglichkeit wäre mit $\begin{eqnarray} \frac{\sqrt{5}-1}2 \end{eqnarray}$ als Grenzwertkandidat folgende Berechnung anzustellen: $\begin{eqnarray} \left\|x_{n+1}-\frac{\sqrt{5}-1}2\right\|=\left\|\frac 1{1+x_n}-\frac 2{\sqrt{5}+1}\right\|=\underbrace{\frac 2{(1+x_n)(\sqrt{5}+1)}}_{<1}\left\|x_n-\frac{\sqrt{5}-1}2\right\| \end{eqnarray}$ Daraus lässt sich dann alles Weitere folgern.

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