Komplexe differenzierbarkeit in einem Punkt

20.02.2013, 16:17	gajamu	Auf diesen Beitrag antworten »
Komplexe differenzierbarkeit in einem Punkt Meine Frage: Hi, zusammen. Ich sitze mal wider an einem Beweis, wo ich eienen Schritt nicht nachvollziehen kann. Ich möchte folgenden Satz beweisen: "Exsitieren $\begin{eqnarray} f_{x} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} f_{y} \end{eqnarray}$ in einer Umgebung von z, sind in z stetig und gilt in z dass $\begin{eqnarray} f_{y}=if{x} \end{eqnarray}$ (1) ist, so ist f in z diffbar" Der Beweis nach Skript sagt, dass es ausreichend sei zu zeigen das für $\begin{eqnarray} f=u+iv \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} h=\xi + i \eta \end{eqnarray}$ gilt: $\begin{eqnarray} \frac{f(z+h)-f(z)}{h} \rightarrow f_{x}=u_{x}+iv_{x} \end{eqnarray}$ für h gegen Null. Soweit so gut. Was dann passiert ist, dass man über die Definition der Ableitung je einen Ausdruck für die Ableitungen von u und v bekommt. Das hab ich auch noch verstanden. Nun das eigentliche Problem; es heißt dass aus (1) folgt: $\begin{eqnarray} f_{x}(z)=\frac{\eta}{h}f_{y} + \frac{\xi}{h}f_{x} \end{eqnarray}$ (2) Ich versteh nicht wie man von (1) auf (2) kommt. Meine Ideen: Ideen, gabs schon einige die nicht funktioniert haben: a) mit (1) rumgespielt, d.h versucht durch geschicktes umformen auf (2) zu kommen (nach 2-3h aufgegeben) b) Mit der Def der Ableitung, allerdings glaube ich habe ich da ein fehler gemacht schon am Anfang gemacht; mein Ansatz: $\begin{eqnarray} f_{x}(x)=\frac{f(x+\xi,y)-f(x,y)}{\xi} \end{eqnarray}$ doch wie kann ich hier geschickt erweitern dass ich auf (2) komm? va wie komm ich auf die Vorfaktoren? so long gajamu
20.02.2013, 17:00	zyko	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Komplexe differenzierbarkeit in einem Punkt Aus $\begin{eqnarray} f_{x}(z)=\frac{\eta}{h}f_{y} + \frac{\xi}{h}f_{x} \end{eqnarray}$ (2) ergibt sich, dass zu zeigen ist $\begin{eqnarray} f_{x}(z) h=\eta f_{y} + \xi f_{x} \end{eqnarray}$ Es gilt $\begin{eqnarray} f_{x}(z) h=f_{x}(z)(\xi +i\eta)=f_{x}(z)\xi +i f_{x}\eta \end{eqnarray}$ Für den Rest siehe deine Formel $\begin{eqnarray} f_{y}=i f_{x} \end{eqnarray}$ (1)
20.02.2013, 17:15	gajamu	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Komplexe differenzierbarkeit in einem Punkt Danke für die Antwort. (habe wohl den Wald vor lauter Bäumen nicht gesehn..). Habe es mitels der Definition nun auch hinbekommen, nur weiss ich nicht so recht ob das so stimmt: $\begin{eqnarray} f_{x}(z)&=&\frac{f(z+h)-f(z)}{h} \\<br /> &=& \frac{f(x+\xi, y+\eta) - f(x,y)}{h}\\<br /> &=& \frac{f(x+\xi, y+\eta) - f(x,y)}{h}+\frac{f(x ,y+\eta) - f(x,y+\eta)}{h}\\<br /> &=& \frac{f(x+\xi, y+\eta) - f(x,y+\eta)}{h} +\frac{f(x, y+\eta) - f(x,y)}{h}\\<br /> &=& \frac{\xi}{h} f_{x} + \frac{\eta}{h} f_{y}<br /> \end{eqnarray}$ wobei das gleich der letzten Zeile mit dem Mittelwertsatz begründet ist. Jedoch bin ich mir a) nicht sicher ob man das hier so machen darf und b) die Version von zyko ist schöner und einfacher (Dank hierfür nochmal) so long gajamu [Edit:] zudem wurde hier $\begin{eqnarray} f_{y} = if_{x} \end{eqnarray}$ nicht genutzt
20.02.2013, 19:19	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Komplexe differenzierbarkeit in einem Punkt So kannst du das nicht machen, ich sehe keine Begründung für das erste und das letzte Gleichheitszeichen. Der Mittelwertsatz funktioniert so nicht. Bei Bedarf kannst du aber auch noch nach den Cauchy-Riemannschen Differentialgleichungen googlen.

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