Gewöhnliche DGL mit Cosinus lösen

20.02.2013, 19:43

Dooku

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Gewöhnliche DGL mit Cosinus lösen

Hi,
ich habe ein Problem mit folgender DGL. Sollte eine inhomogene, gewöhnliche DGL 1. Ordnung sein :

$\begin{eqnarray*} y' + ay = b \cdot cos(x) \end{eqnarray*}$

Ich hab auch im Netz nichts dieser Art gefunden. Gibt es denn überhaupt eine Lösung??

MfG Dooku

20.02.2013, 20:17

Che Netzer

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RE: Gewöhnliche DGL mit Cosinus lösen
Hast du denn schon die homogene Lösung?
Und kennst du den Ansatz der rechten Seite?

(Ich gehe davon aus, dass $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} b \end{eqnarray*}$ konstant sind)

20.02.2013, 23:27

Dooku

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Ja die homogene Lösung habe ich:
$\begin{eqnarray*} -a \cdot Ae^{-ax} + a \cdot Ae^{-ax} = 0 \end{eqnarray*}$ , dh also $\begin{eqnarray*} y= Ae^{-ax} \end{eqnarray*}$ , wobei A nich eine unbekannte Integrationskonstante darstellt.
a und b sind konstante Koeffizienten.
Den Ansatz für die rechte Seite kenne ich leider nicht.

Edit Equester: Latexcode korrigiert.

20.02.2013, 23:29

Che Netzer

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Die homogene Lösung stimmt schonmal.

Hättest du denn einen Ansatz zur inhomogenen Lösung, wenn rechts $\begin{eqnarray*} \mathrm e^x \end{eqnarray*}$ statt $\begin{eqnarray*} \cos x \end{eqnarray*}$ stünde?
Hier kann man analog vorgehen und $\begin{eqnarray*} c_1\cos x+c_2\sin x \end{eqnarray*}$ als Ansatz verwenden.

20.02.2013, 23:33

Dooku

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Ach Shit , die Klammern hinter den e's sollen die Exponenten sein (-> Exponent : -ax)

20.02.2013, 23:34

Che Netzer

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Da kannst du eckige Klammern setzen, z.B. \mathrm e^{-ax}

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20.02.2013, 23:50

Dooku

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also für $\begin{eqnarray*} e^x \end{eqnarray*}$ wäre y = Ae^{-2x} . Aber wie hilft einem das oder dieser "c1sin+ c2cos" Ansatz weiter?

20.02.2013, 23:53

Che Netzer

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Zitat:

Original von Dooku
also für $\begin{eqnarray*} e^x \end{eqnarray*}$ wäre y = Ae^{-2x}

Das wäre dann immer noch nur die homogene Lösung.

Ansonsten setze den genannten Ansatz doch mal in die inhomogene Gleichung ein und sieh, was passiert.

21.02.2013, 10:11

Dooku

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Ja ok , mit $\begin{eqnarray*} y = \frac {b}{2} \cdot ( cos(x) + sin(x) ) \end{eqnarray*}$ ließe sich $\begin{eqnarray*} y' + y = b \cdot cos (x) \end{eqnarray*}$ lösen. Aber ich habe ja noch das a in der Gl.

21.02.2013, 10:13

Che Netzer

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Und was kam denn heraus, als du den genannten Ansatz in die Gleichung eingesetzt hast?

21.02.2013, 10:39

Dooku

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Jo da kommt $\begin{eqnarray*} - sin(x) + cos(x) + a \cdot ( sin(x) + cos(x) ) \neq b \cdot cos(x) \end{eqnarray*}$ raus

21.02.2013, 10:41

Che Netzer

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Du hast die Konstanten $\begin{eqnarray*} c_1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} c_2 \end{eqnarray*}$ vergessen.

21.02.2013, 11:03

Dooku

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Ja die muss man aber immer noch bestimmen und damit die Gl überhaupt funktioniert (ohne a und b) habe ich dann c1 = c2 = 0.5 gesetzt. Bezieht man b noch mit ein: c1 = c2= b/2 . Unter Berücksichtigung des a's kam ich noch auf keine funktionierende Lösung.

21.02.2013, 11:17

Che Netzer

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Ich weiß gar nicht, was du da machst...
Setze genau den Ansatz, den ich dir genannt habe, in die DGL ein.
Dann bestimme die Koeffizienten $\begin{eqnarray*} c_1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} c_2 \end{eqnarray*}$ (in Abhängigkeit von $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} b \end{eqnarray*}$ ).

21.02.2013, 12:37

Dooku

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Versuche ich ja. Ich komme nur nicht mit dem a klar. Ohne a habe ich die Lösung (eben c1 = c2= b/2), hilft aber höchstens als teilergebnis.

21.02.2013, 12:43

Che Netzer

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Dann frage ich nochmal:
Wie sah denn die DGL aus, nachdem du den genannten Ansatz eingesetzt hast? Und zwar ohne die Konstanten dabei wegzulassen...

21.02.2013, 13:19

Dooku

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Hast du denn eine Lösung gefunden??

21.02.2013, 13:23

Che Netzer

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Was spielt das denn für eine Rolle?

Nun setz doch endlich mal $\begin{eqnarray*} y=c_1\cos+c_2\sin \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} y'+ay=b\cos \end{eqnarray*}$ ein unglücklich

unglücklich

21.02.2013, 14:42

Dooku

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trollolol, hier bitte : $\begin{eqnarray*} -c_1 \cdot sin (x) + c_2 \cdot cos (x) + ac_1 \cdot cos (x) + ac_2 \cdot sin (x) = b \cdot cos (x) \end{eqnarray*}$

21.02.2013, 14:46

Che Netzer

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Geht doch. Und jetzt führe einen Koeffizientenvergleich durch.

21.02.2013, 16:57

Dooku

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Dann ergibt sich $\begin{eqnarray*} c_1 = \frac {ab} {1 + a^2} \end{eqnarray*}$ , bzw $\begin{eqnarray*} c_2 = \frac {b} {1 + a^2} \end{eqnarray*}$ .
Für y also : $\begin{eqnarray*} y = \frac {b}{a^2 + 1} \cdot ( a \cdot cos (x) + sin (x)) \end{eqnarray*}$
Jetzt die spez. Lösung mit der allgemeinen addieren oder?

21.02.2013, 17:04

Che Netzer

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Ja, dann hast du die allgemeine Lösung der inhomogenen Gleichung.

23.02.2013, 11:59

Dooku

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Ok, dann Danke für deine Hilfe smile

smile

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