Konvergenz einer Potenzreihe

21.02.2013, 12:59

Chris00

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Konvergenz einer Potenzreihe

Hallo

ich habe folgende Aufgabe:

Für welche Werte von $\begin{eqnarray*} z \in C \end{eqnarray*}$ konv. die Potenzreihe?

$\begin{eqnarray*} \sum \limits^{\infty}_{n=0} \frac{n!^2}{(2n)!} z^n \end{eqnarray*}$

Hab zu der Aufgabe leider keine Lösung. Als Ergebnis habe ich z < 4 raus. Könnte das vielleicht jemand schnell nachrechnen?

Gruß
Chris

21.02.2013, 13:03

Che Netzer

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RE: Konvergenz einer Potenzreihe

Zitat:

Original von Chris00
Als Ergebnis habe ich z < 4 raus.

Fehlt da nicht ein Betrag?

21.02.2013, 13:06

Chris00

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jo, absolut... smile

smile

$\begin{eqnarray*} |z| < 4 \end{eqnarray*}$

21.02.2013, 13:07

Che Netzer

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Ja, absolut kleiner Vier stimmt Augenzwinkern

Augenzwinkern

21.02.2013, 13:13

Chris00

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Und dann noch es gleiche Thema, nur $\begin{eqnarray*} x \in R \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \sum \limits_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2} (1+(-1)^n)^n x^n \end{eqnarray*}$

Sekunde, frage kommt gleich, hab Absenden gedrückt statt Vorschau Augenzwinkern

Augenzwinkern

... so...

Hier hab ich mit Wurzelkrit.

$\begin{eqnarray*} \sqrt[n]{1} \to 1 \quad \quad \sqrt[n]{n^2} \to 1 \end{eqnarray*}$

bleibt mir also noch $\begin{eqnarray*} (1+(-1)^n) \end{eqnarray*}$ ...aber wie hier weiter? Kann ich hier einfach sagen, das es div. ?

21.02.2013, 13:14

Che Netzer

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Tja, da kann ich schonmal verraten, dass die Reihe für alle $\begin{eqnarray*} x\in\mathbb R \end{eqnarray*}$ das gleiche Konvergenzverhalten hat. Oder fehlt da noch irgendetwas? Augenzwinkern

Augenzwinkern

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21.02.2013, 13:17

Mystic

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@Chris00

Und den Fall |z|=4 hast du für die vorhergehende Reihe echt durchgerechnet?

21.02.2013, 13:23

Chris00

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Warum sollte ich |z| = 4 durchrechnen?

21.02.2013, 13:24

Jello Biafra

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Damit hast Du jetzt den Konvergenzradius.
Um die Ausgangsfrage vollständig zu beantworten, solltest Du das Verhalten auf dem Rand des Konvergenzkreises aber noch untersuchen.

21.02.2013, 13:27

Jello Biafra

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Oha, viiiel zu langsam.
Deshalb bin ich raus und geb den Ball zurück an Mystic...

21.02.2013, 13:27

Mystic

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RE: Konvergenz einer Potenzreihe
Naja, die Aufgabe war doch

Zitat:

Original von Chris00
Für welche Werte von $\begin{eqnarray*} z \in C \end{eqnarray*}$ konv. die Potenzreihe?

Und ich könnte mir gut vorstellen (da dies noch sehr einfach ist), dass du nur den Konvergenzradius für die Reihe berechnet hast, der ja über die Konvergenz "am Rand" keinerlei Auskunft gibt...

21.02.2013, 14:02

Che Netzer

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RE: Konvergenz einer Potenzreihe
Das scheint wohl länger zu dauern:
@Chris00: Welches Kriterium wäre denn das einfachste, um die Divergenz für $\begin{eqnarray*} \lvert z\rvert=4 \end{eqnarray*}$ zu zeigen?

21.02.2013, 14:26

Chris00

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Ich muss doch um das zu prüfen

$\begin{eqnarray*} 1) \sum\limits_{n=0}^{\infty} \frac{n!^2}{(2n)!}\cdot 4 \end{eqnarray*}$

und

$\begin{eqnarray*} 2) \sum\limits_{n=0}^{\infty} - \frac{n!^2}{(2n)!}\cdot 4 \end{eqnarray*}$

Auf konvergenz prüfen.

Das würde ich wieder mit dem Quotientenkrit. machen.

$\begin{eqnarray*} 1) \lim \limits_{n\to \infty} \frac{4}{(2n+1)(2n+2)} \end{eqnarray*}$

das hab ich abgeschätzt (hoffe das ist nicht zu heftig Augenzwinkern

Augenzwinkern

$\begin{eqnarray*} (2n +1) (2n+2) \leq (2n+n)(2n+n) = 9n^2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{n^{\alpha}} \, \, (\alpha > 0) \to 0 (n \to \infty) \end{eqnarray*}$

Somit auch $\begin{eqnarray*} \frac{4}{9} \frac{1}{n^2} \to 0 \end{eqnarray*}$

Für -4 dann halt nochmal das gleich... (rechne ich gleich)

Gruß
Chris

21.02.2013, 14:44

Che Netzer

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Nein, in der Reihe steht (wenn überhaupt) $\begin{eqnarray*} 4^n \end{eqnarray*}$ statt $\begin{eqnarray*} 4 \end{eqnarray*}$ .
Aber es gibt unendlich viele komplexe Zahlen mit Betrag Vier.

Und für die alle soll die Reihe divergieren, nicht konvergieren. Ich hatte dir ja ganz am Anfang schon bestätigt, dass die Reihe nur für $\begin{eqnarray*} \lvert z\rvert<4 \end{eqnarray*}$ konvergiert.

Also setze eine allgemeine komplexe Zahl von Betrag Vier in die Reihe ein und suche dir ein passendes "Divergenzkriterium".

Außerdem ging deine Abschätzung in die falsche Richtung.

21.02.2013, 14:48

Mystic

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@Chris00

Nein, das Quotientenkriterium hast du bereits beim Konvergenzradius "ausgeschlachtet"... Mehr geht da nicht... Big Laugh

Big Laugh

Was du brauchst, ist die Stirling-Formel

$\begin{eqnarray*} n!=(1+o(1)) \left(\frac ne \right)^n \sqrt{2\pi n} \end{eqnarray*}$

wobei o(1) ein Term ist, der für $\begin{eqnarray*} n \to \infty \end{eqnarray*}$ gegen 0 geht...

21.02.2013, 14:58

Jello Biafra

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Oder Du benutzt direkt diese Aussage hier:

matheboard.de/thread.php?threadid=514980

was aber letztendlich auch wieder zur Stirling'schen Formel führt.

21.02.2013, 15:01

Chris00

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Die Stirling-Formel wurde in der Vorlesung noch nicht besprochen.

Ich würde dann das Minorantenkrit. verwenden und damit div. zeigen.
Allerdings kann ich mit "allgemeine komplexe Zahl von Betrag Vier" nicht anfangen.

21.02.2013, 15:03

Che Netzer

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Zitat:

Original von Chris00
Allerdings kann ich mit "allgemeine komplexe Zahl von Betrag Vier" nicht anfangen.

Du beginnst mit "Sei $\begin{eqnarray*} z\in\mathbb C \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} \lvert z\rvert=4 \end{eqnarray*}$ ".
Dann untersuchst du $\begin{eqnarray*} \sum_{n=0}^\infty\frac{n!^2}{(2n)!}z^n \end{eqnarray*}$ auf Konvergenz.

Und wie genau möchtest du das Minorantenkriterium anwenden? verwirrt

verwirrt

21.02.2013, 15:07

Chris00

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Wenn a_n >= b_n =>0 und b_n div. dann div. auch a_n oder nicht?

21.02.2013, 15:13

Che Netzer

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Ja, so in der Art.
Das wird aber schwierig, wenn wir komplexe Zahlenreihen haben, oder?

21.02.2013, 15:31

Chris00

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Hab keine Ahnung wie sonst..

21.02.2013, 15:32

Che Netzer

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Ich hatte weiter oben schonmal gefragt: Was ist denn das einfachste Kriterium, das die Konvergenz einer Reihe widerlegt?

21.02.2013, 16:36

Chris00

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Hm... ich hab nur das Min.krit. ... ansonsten nur welche, mit denen ich auf konv. prüfen kann.

21.02.2013, 16:37

Che Netzer

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Ich bin mir sicher, ihr hattet ganz am Anfang etwas, was sich "Trivialkriterium" oder "notwendiges Kriterium" nennt.

21.02.2013, 16:43

Chris00

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Ist die Folge der Reihenglieder keine Nullfolge, divergiert die Reihe.

Eije... smile

smile

21.02.2013, 16:49

Che Netzer

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Ja, dann überprüfe mal, ob $\begin{eqnarray*} \frac{n!^2}{(2n)!}z^n \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} \lvert z\rvert=4 \end{eqnarray*}$ eine Nullfolge bildet.

21.02.2013, 17:07

Chris00

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Ich kann mir vorstellen, dass es ziemlich schnell eine Nullfolge wird, aber ich finde nichts, mit dem ich vergleichen könnte. Ich wüsste auch nicht, wie ich das n! im Zähler eliminieren könnte

21.02.2013, 17:09

Che Netzer

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Was meinst denn damit, dass es schnell eine Nullfolge wird? verwirrt

verwirrt

21.02.2013, 17:10

Chris00

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Das die Folge für kleine n_0 schon 0 ist Augenzwinkern

Augenzwinkern

21.02.2013, 17:18

Che Netzer

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Für welches $\begin{eqnarray*} n_0 \end{eqnarray*}$ denn zum Beispiel? verwirrt

verwirrt

– die Folge nimmt den Wert Null überhaupt nie an.
Und was heißt "klein"?

21.02.2013, 17:19

Chris00

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OK, vergiss es Augenzwinkern

Augenzwinkern

Ich weiß nimmer weiter unglücklich

unglücklich

21.02.2013, 17:38

Che Netzer

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Na gut, dann nicht [attach]24103[/attach]

Wenn du möchtest, kannst du ja zu der zweiten Reihe einen neuen Thread eröffnen.

21.02.2013, 17:45

Chris00

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Kannst du mir sagen, wie ich da weiter machen müsste?

21.02.2013, 17:46

Che Netzer

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Meinst du die erste Reihe oder die zweite?

21.02.2013, 17:47

Chris00

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Die erster Augenzwinkern

Augenzwinkern

21.02.2013, 17:50

Che Netzer

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Mit der Stirling-Formel kommt man da für $\begin{eqnarray*} \lvert z\rvert=4 \end{eqnarray*}$ auf
$\begin{eqnarray*} \left\lvert\frac{n!^2}{(2n)!}z^n\right\rvert\sim\sqrt{\pi n}\xrightarrow{n\to\infty}\infty\,, \end{eqnarray*}$
was sofort die Divergenz der Reihe zeigt.
Damit konvergiert diese genau dann, wenn $\begin{eqnarray*} \lvert z\rvert<4 \end{eqnarray*}$ .

21.02.2013, 17:51

Chris00

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Die darf ich aber nicht nutzen, da wir diese noch nicht besprochen haben. unglücklich

unglücklich

21.02.2013, 17:53

Che Netzer

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Dann müsstest du $\begin{eqnarray*} \frac{4^n(n!)^2}{(2n)!}\not\to0 \end{eqnarray*}$ auf irgendeine andere Weise zeigen.
Lautete die Aufgabenstellung aber vielleicht doch nur, den Konvergenzradius zu bestimmen?

21.02.2013, 17:54

Chris00

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RE: Konvergenz einer Potenzreihe

Zitat:

Original von Chris00
Für welche Werte von $\begin{eqnarray*} z \in C \end{eqnarray*}$ konv. die Potenzreihe?

21.02.2013, 17:55

Che Netzer

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RE: Konvergenz einer Potenzreihe
Ja, von der Reihe sprechen wir. Und jetzt? verwirrt

verwirrt

Edit: Ah, du hast es editiert. Wenn das wirklich die exakte Aufgabenstellung ist, müsstest du obiges Grenzverhalten noch untersuchen...

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