Wie gehe ich bei dem Integral vor ?

21.02.2013, 14:32

Elvandy100

Wie gehe ich bei dem Integral vor ?

Hi,

habe folgendes Integral was ich lösen wollte $\begin{eqnarray*} \int(\frac{1}{\sqrt{7+6x-x^2}})dx \end{eqnarray*}$

Mir ist aufgefallen das es zu den Grundintegral gehört und zwar zum arcsin(x).

Habe so eine ähnliche Aufgabe schon mal gelöst und wollte das eine quadratische Ergänzung machen aber irgendwie bin ich gerade nicht in der lage das zu machen da ich :

$\begin{eqnarray*} -x² +6x+9 = 2 \end{eqnarray*}$ für die Ergänzung rausbekommen habe aber das ist ja keine Binomische Formel.

Könnt ihr mal bitte ein Tipp geben was ich jetzt machen kann ?

21.02.2013, 14:40

Mulder

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RE: Wie gehe ich bei dem Integral vor ?
Wo hast du da denn jetzt irgendwas quadratisch ergänzt? Da jetzt auf beiden Seiten einfach +2 zu rechnen (wo kommt die Gleichung überhaupt her?) scheint mir recht willkürlich. Da du das mit dem arcsin schon im Kopf hast, musst du den Term unter der Wurzel nun eben in die Form

$\begin{eqnarray*} a-(b-x)^2 \end{eqnarray*}$

bringen. Das sollte machbar sein. Den Faktor a klammerst du anschließend aus.

21.02.2013, 15:04

Elvandy100

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Oh man keine Ahnung was ich gerade gemacht habe.

Meine Ergänzung wäre dann

$\begin{eqnarray*} 16-(x-3)^2 \end{eqnarray*}$

21.02.2013, 15:05

Mulder

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Jo.

21.02.2013, 18:15

Elvandy100

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So ich konnte das Integral danach ohne Probleem lösen.

Vielleicht kamm man mir bei der nächsten auch helfen.

$\begin{eqnarray*} \int(3x^2-4x+3)^2*(3x-2)dx \end{eqnarray*}$

ist das nicht die substitutionsmethode Type 2 ?

Habe auch ein Beispiel gefunden aber ich verstehe nicht, vorher die 3 herkommt (gelb unterstrichen).

Und wäre es nicht einfacher $\begin{eqnarray*} (6x-9) \end{eqnarray*}$ zu substituieren ?

21.02.2013, 18:24

Mulder

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Zitat:

Original von Elvandy100
Und wäre es nicht einfacher $\begin{eqnarray*} (6x-9) \end{eqnarray*}$ zu substituieren ?

Das wäre eine völlig sinnlose Substitution. Wenn du willst, kannst du das ja mal ausprobieren. Einfacher machst du es dir damit nicht.

Zu der 3: Es ist

$\begin{eqnarray*} (2x-3) \, \dd x = \dd u \end{eqnarray*}$

Im Integral hast du aber nicht $\begin{eqnarray*} (2x-3) \end{eqnarray*}$ stehen, sondern $\begin{eqnarray*} (6x-9) \end{eqnarray*}$ . Also

$\begin{eqnarray*} (6x-9) \, \dd x = 3 \, \dd u \end{eqnarray*}$

Da kommt die 3 her.

21.02.2013, 18:36

Elvandy100

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Ah ok schon mal danke !

Ich glaube ich habe meine obere richtig gelöst und zwar:

Sub: $\begin{eqnarray*} g(x) = t = (3x^2-4x+3)^2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{dt}{dx}=6x - 4 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} dx = \frac{dt}{6x-4} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} I =\int\frac{dt}{6x-4} * (3x-2) * t^2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =\int\frac{dt}{2(3x-2)} * (3x-2) * t^2 \end{eqnarray*}$ | kürzen

$\begin{eqnarray*} =\frac{1}{2}\int t^2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =\frac{1}{2}*\frac{1}{3} t^3 + C \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} I =\frac{1}{6}*(3x^2-4x+3)^3 + C \end{eqnarray*}$

Müsste richtig sein oder ?

21.02.2013, 19:00

Mulder

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Jo, passt. Abgesehen von einem Tippfehler:

Zitat:

Original von Elvandy100
Sub: $\begin{eqnarray*} t = (3x^2-4x+3)^{\color{red}2\color{black}} \end{eqnarray*}$

Tatsächlich substituierst du ja

$\begin{eqnarray*} t = (3x^2-4x+3) \end{eqnarray*}$

21.02.2013, 19:03

Elvandy100

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oh jo stimmt habe den Tipp fehler nicht gesehen !

Danke !

21.02.2013, 20:22

Elvandy100

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So ich habe eben noch ein Verständnis Problem.

es geht um dieses Integral $\begin{eqnarray*} \int\frac{3x}{1+x²}dx \end{eqnarray*}$

und zwar habe ich zum Schluss Probleme das richtig zusammen zu fassen.

und zwar war meine

$\begin{eqnarray*} Sub: g(x) = t = 1+x² \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{dt}{dx} = 2x \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{dt}{2x} = dx \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} I = \int(\frac{dt}{2x} * \frac{3x}{t})dx \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} I = 3\int(\frac{dt}{2x} * \frac{x}{t})dx \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} I = 3 * \frac{1}{2} \int(\frac{1}{x} * \frac{x}{t})dx \end{eqnarray*}$

Aber irgendwie stimmt da was nicht zwar wird $\begin{eqnarray*} \int\frac{1}{x}dx = ln(x) \end{eqnarray*}$ aber irgendwo habe ich mich vertan ?

Die Lösung ist nämlich $\begin{eqnarray*} \frac{3}{2} ln(1+x²)+C \end{eqnarray*}$

21.02.2013, 20:32

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[quote]Original von Elvandy100
$\begin{eqnarray*} I = \int(\frac{dt}{2x} * \frac{3x}{t})dx \end{eqnarray*}$

dt und dx ist hier ein bisschen viel. Davon bleibt nur eins übrig. Dann klappts auch mit der Musterlösung

21.02.2013, 20:36

Elvandy100

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Müsste ja so aussehen :

$\begin{eqnarray*} I = \int(\frac{1}{2x} * \frac{3x}{t})dx \end{eqnarray*}$

21.02.2013, 20:53

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Nein, das war genau das falsche. Warum?

21.02.2013, 21:17

Elvandy100

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Weil ich das ja eigentlich damit ersetzt habe

$\begin{eqnarray*} \frac{dt}{2x} = dx \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} I = \int(\frac{dt}{2x} * \frac{3x}{t}) \end{eqnarray*}$

Kann das dann sein das sich t kürzt und es bleibt zum Schluss

$\begin{eqnarray*} I = \frac{2}{3} \int\frac{dx}{x} \end{eqnarray*}$

und dann kommt mein Ergebnis raus =) ?? oder ?

21.02.2013, 21:26

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Zitat:

Original von Elvandy100
$\begin{eqnarray*} I = \int(\frac{dt}{2x} * \frac{3x}{t}) \end{eqnarray*}$
Kann das dann sein das sich t kürzt

nein, das ist definitiv falsch. t ist doch deine neue Integrationsvariable. Du musst das x loswerden.
Was hier ziemlich einfach ist.

21.02.2013, 21:31

Elvandy100

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Oh man also $\begin{eqnarray*} \frac{3}{2} \end{eqnarray*}$ ausklammern und x kürzen ?

dann habe ich da stehen $\begin{eqnarray*} \frac{3}{2} \int\frac{dt}{t} \end{eqnarray*}$

21.02.2013, 21:38

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yap. Das Integral kannst du lösen, dann resubstituieren.

21.02.2013, 21:49

Elvandy100

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Vielen dank =)

22.02.2013, 14:51

Elvandy100

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Hi,

habe folgendes Integral gelöst

$\begin{eqnarray*} \int\frac{sinh(2x)}{1+sinh^2(x)}dx \end{eqnarray*}$

und habe das als Endergebnis raus bekommen

$\begin{eqnarray*} I = ln(1+sinh^2(x))+C \end{eqnarray*}$

aber es ist nicht mit der Musterlösung identisch aber ich glaube da ist ein Fehler in der Lösung ist.

und in der Musterlösung steht das hier

$\begin{eqnarray*} I = \frac{1}{3} * ln(1+sinh^2(x))+C \end{eqnarray*}$

22.02.2013, 15:03

Mystic

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Zitat:

Original von Elvandy100
aber es ist nicht mit der Musterlösung identisch aber ich glaube da ist ein Fehler in der Lösung ist

Ja, dein Ergebnis stimmt, wenngleich es mir jetzt in der Form

$\begin{eqnarray*} 2 \ln \cosh x+C \end{eqnarray*}$

besser gefallen würde... Augenzwinkern

22.02.2013, 15:12

Elvandy100

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danke =)

22.02.2013, 19:38

Elvandy100

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Ich brauche noch mal eure hilfe und zwar geht es diesmal um dieses Integral

$\begin{eqnarray*} \int (sin²(3x+\frac{\pi}{4}) dx \end{eqnarray*}$

Habe aber schon bei $\begin{eqnarray*} \int sin²(x) \end{eqnarray*}$ Verständnis Probleme.

Also ich weiß das ich $\begin{eqnarray*} \int sin²(x) \end{eqnarray*}$ Grundsätzlich in $\begin{eqnarray*} \int \frac{1}{2}(1-cos(2x)) \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} \int \frac{1}{2}-\frac{1}{2}*cos(2x)) \end{eqnarray*}$ umformen kann.

Also lautet mein Integral $\begin{eqnarray*} \int \frac{1}{2}-\frac{1}{2}*cos(2 * (3x+\frac{\pi}{4})) \end{eqnarray*}$

Stimmt das schon mal ?

Als Sub. $\begin{eqnarray*} (x) = t = 3x+\frac{\pi}{4} \end{eqnarray*}$ ?

$\begin{eqnarray*} dx = \frac{dt}{3} \end{eqnarray*}$

22.02.2013, 21:54

Mystic

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Zitat:

Original von Elvandy100
Also lautet mein Integral $\begin{eqnarray*} \int \frac{1}{2}-\frac{1}{2}*cos(2 * (3x+\frac{\pi}{4})) \end{eqnarray*}$

Stimmt das schon mal ?

Wenn man von fehlenden Klammern und dem fehlenden Differenzial absieht ( unglücklich

) , dann ja...

Außerdem macht

$\begin{eqnarray*} cos(2 (3x+\frac{\pi}4))=-sin(6 x) \end{eqnarray*}$

die Sache etwas einfacher... Und wenn du schon substituierst, dann das ganze Argument von cos bzw. sin und nicht Teile davon...

23.02.2013, 11:39

Elvandy100

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oh sorry das habe ich ganz vergessen !

Aber wie bist du jetzt auf $\begin{eqnarray*} -sin(6x) \end{eqnarray*}$ gekommen

Zitat:

Und wenn du schon substituierst, dann das ganze Argument von cos bzw. sin und nicht Teile davon...

ich habe doch nur die Klamer aufgelöst.

ab wann kann ich den substituieren ? und mit was ?

und ich habe im meinen Skript die fertigen Integrale von sin²(x) dx und cos²(x) dx drin und ich darf die auch für die Klausur benutzen aber ich wollte das gerne verstehen und auch wissen was ich machen muss wenn z.b so was da steht $\begin{eqnarray*} sin²(4x+5) \end{eqnarray*}$ oder wie oben im beispiel.

also $\begin{eqnarray*} \int cos²(x) \end{eqnarray*}$ habe ich jetzt verstanden und $\begin{eqnarray*} \int cos²(3x) \end{eqnarray*}$ auch aber wenn da z.b $\begin{eqnarray*} \int cos²(3x+4) \end{eqnarray*}$ steht komme ich noch nicht auf das richtige Ergebnis.

23.02.2013, 13:15

Mystic

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Du solltest dir eine gut merken, um dir dein Leben in der Mathematik leichter zu machen: Wenn man das Argument von sin x oder cos x um $\begin{eqnarray*} \pi/2 \end{eqnarray*}$ vergrößert, entsprich dies genau dem Ableiten, also

$\begin{eqnarray*} \sin(x+\pi/2)=\frac d{dx} \sin x = \cos x \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \cos(x+\pi/2)=\frac d{dx} \cos x = -\sin x \end{eqnarray*}$

Natürlich kannst du dies auch mit dem Additionstheorem herleiten, aber so kann man sich das am einfachsten merken...

Also ist nun

$\begin{eqnarray*} \cos (2(3x+\pi/4))=\cos(6x+\pi/2)=-\sin (6x) \end{eqnarray*}$

Und hier kannst du dann t=6x substituieren, was ein Profi aber niemals machen würde... Der würde nämlich einfach 6x in die Stammfunktion von -sin(), die ist hier cos(), einfach 6x einsetzen und eine nachträgliche(!) Korrektur anbringen, indem er durch die innere Ableitung von 6x, die ist hier 6, dividiert! Dies entspricht exakt der Kettenregel, wie du sofort nachrechnen kannst, funktioniert aber nur, wenn die innere Funktion linear(!!!) ist...

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