L'Hospital

21.02.2013, 14:54

Daniel0815

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L'Hospital

Hi Leute.

Ich komme bei einer Aufgabe nicht mehr weiter. Vielleicht kann mir
von euch jemand helfen.

Die Aufgabe lautet:

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to \frac{\pi }{2} } (\frac{tan(x)}{tan3x)} ) \end{eqnarray*}$

Mein Ansatz: Typ $\begin{eqnarray*} \infty /\infty \end{eqnarray*}$
L'Hopital angewendet.

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to \frac{\pi }{2} } (\frac{\frac{1}{(cos(3x))^2} }{\frac{1}{(cos(x))^2} } ) \end{eqnarray*}$

Umgeformt:

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to \frac{\pi }{2} } (\frac{(cos(x)^2}{(cos(3x)^2}) \end{eqnarray*}$

Ist hier immer noch Typ $\begin{eqnarray*} \infty /\infty \end{eqnarray*}$ !!

Also nochmal L'Hopital angewendet.

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to \frac{\pi }{2} } (\frac{2cos(x)\cdot sin(x)}{-6cos(3x)\cdot sin(3x)} ) \end{eqnarray*}$

Weiter komme ich nicht. Es soll 1/3 rauskommen. Aber ich verstehe es nicht. unglücklich

unglücklich

21.02.2013, 15:05

Equester

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Kann es sein, dass du Nenner und Zähler in der Aufgabenstellung vertauscht hast?

Dann würde es hier fast passen:

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to \frac{\pi }{2} } \left(\frac{(cos(x)^2}{(cos(3x)^2}\right) \end{eqnarray*}$

Es fehlt noch der Faktor 3. (Siehe Argument des Tangens)

Ich würde hier das Quadrat "ausklammern" und dann mit den Grenzwertsätzen weitermachen Augenzwinkern

Augenzwinkern

.

21.02.2013, 15:05

chris95

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Hi,

ich wuerde hier folgendes Additionstheorem benutzen:

$\begin{eqnarray*} \tan (3x) = \frac{ 3 \tan x - \tan^3 x }{ 1 - 3 \tan^2 x } \end{eqnarray*}$

Du findest es hier:
http://de.wikipedia.org/wiki/Formelsamml...itere_Vielfache

Musst du es mit L'Hospital machen? Beachte, dass du falsch abgeleitet hast. Denke an das Nachdifferenzieren.

21.02.2013, 15:19

Daniel0815

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Ja Equester du hast recht. Ich habe Sie vertauscht Hammer

Hammer

. Ich werd das nochmal versuchen.
@chris: Wir sollen es mit L'Hopital lösen.

Danke schonmal!

21.02.2013, 15:35

original

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Zitat:

Original von Daniel0815

Wir sollen es mit L'Hopital lösen. geschockt

geschockt

.
abgesehen davon, dass du oben tan(3x) falsch abgeleitet traurig

traurig

hast...

ein Student sollte Namen der zitierten Fachleute bitte richtig schreiben. smile

smile

21.02.2013, 15:47

Daniel0815

Auf diesen Beitrag antworten »

Oh sorry L ' Hospital natürlich Augenzwinkern

Augenzwinkern

.
Warum ist die Ableitung tan(3x) den falsch?

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21.02.2013, 15:50

Equester

Auf diesen Beitrag antworten »

Sowohl chris als auch ich haben diesbezüglich schon einen Hinweis geliefert Augenzwinkern

Augenzwinkern

.

21.02.2013, 15:56

Daniel0815

Auf diesen Beitrag antworten »

http://www.strahlensatz.de/attachments/020_tangens.pdf

Habe die gleiche Aufgabe im Netz gefunden und dort steht die Ableitung genau so?

21.02.2013, 16:04

chris95

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Die Loesung im Netz ist falsch. Es kommt zwar das richtige heraus, aber er leitet auch nicht korrekt ab. Er hat 2 mal das Nachdifferenzieren vergessen. Dadurch haben sich gerade die Fehler zufaelligerweisse wieder aufgehoben.

Denke auch daran, dass du den Kehrbruch von ihm ausrechnen moechtest.

Ausserdem kommt als Ergebnis heraus:

$\begin{eqnarray*} \lim_{x\to \frac\pi 2 }\, \frac{\tan x}{\tan 3x } = 3 \end{eqnarray*}$

Denke an das Nachdifferenzieren!

Was ist $\begin{eqnarray*} \frac{\text{d}}{\text{dx} } \tan{3x} \end{eqnarray*}$

21.02.2013, 16:07

Equester

Auf diesen Beitrag antworten »

Am besten vergisst du das.

Die Ableitung vom Tangens passt nicht, sowie sie nicht mal die Ableitung von cos²(x) hinbekommen geschockt

geschockt

.

Versuche den tangens nochmals alleine abzuleiten Augenzwinkern

Augenzwinkern

.

21.02.2013, 16:09

Daniel0815

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Das Ergebnis muß richtig sein. In meiner Probeklausur ist auch die Lösung 1/3 angegeben!

21.02.2013, 16:11

Daniel0815

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich habe heute genug von L'Hospital:-) Ich werds später oder morgen nochmal mit dem ableiten versuchen. Irgendwie verwirrt mich diese Aufgabe.

21.02.2013, 16:11

Equester

Auf diesen Beitrag antworten »

Das Ergebnis 1/3 bestreite ich ja gar nicht.
Ändert aber nichts daran, dass die dort unverantwortlich oft schludern geschockt

geschockt

.

Deswegen vergiss das dort und arbeite selbst. Ableitung von tan(3x) bitte.

21.02.2013, 16:12

chris95

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$\begin{eqnarray*} \lim_{x\to \frac\pi 2 }\, \frac{\tan x}{\tan 3x } = 3 \end{eqnarray*}$

Nein, dieses Ergebnis stimmt. Checke nochmal ob du diesen Limes oder den Limes des Kehrbruchs errechnen sollst.

21.02.2013, 16:13

Equester

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Daniel0815
Ich habe heute genug von L'Hospital:-) Ich werds später oder morgen nochmal mit dem ableiten versuchen. Irgendwie verwirrt mich diese Aufgabe.

Verwirren tut einzig die Tatsache, dass dort drüben rumgemurkst wurde...
wenn wir es gemeinsam machen, solltest du entwirrt werden Augenzwinkern

Augenzwinkern

.

Außer natürlich chris funkt weiterhin rein unglücklich

unglücklich

.
Dass Zähler und Nenner vertauscht wurden ist schon lange geklärt!

21.02.2013, 16:16

original

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von chris95

Denke an das Nachdifferenzieren!

smile

wenn Daniel0815 -> Nach denkt, kommt er vielleicht dahinter,
dass er sowas vielleicht mal unter dem Titel "Kettenregel" angelegt bekam?

auch bleibt irgendwie noch klarzustellen, welcher "vertauschte" (siehe oben) Grenzwert
nun eigentlich Aufgabe ist? verwirrt

verwirrt

.

21.02.2013, 16:17

chris95

Auf diesen Beitrag antworten »

Oh sorry,
ich bin raus, hab gerade erst gesehen, dass das mit Nenner und Zaehler schon geklaert ist. Tut mir leid...

21.02.2013, 16:19

Equester

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Für alle nochmals die nur die letzten Beitrag lesen und dann antworten!

Aufgabenstellung von Daniel:

Zitat:

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to \frac{\pi }{2} } (\frac{tan(x)}{tan3x)} ) \end{eqnarray*}$

Mein Hinweis:

Zitat:

Kann es sein, dass du Nenner und Zähler in der Aufgabenstellung vertauscht hast?

Seine Korrektur:

Zitat:

Ja Equester du hast recht. Ich habe Sie vertauscht Hammer

Hammer

. Ich werd das nochmal versuchen.

Edit: Sry chris, wenn ich grad etwas geladen bin...aber ich war zuerst hier und dann mischen hier mehrerlei mit, was offensichtlich zu Daniels Verwirrung beiträgt...was nicht mal das gröbste ist, sondern dann auch noch auf Tatsachen rumhaken, die längst geklärt sind...wie nun zum wiederholten Male von original unglücklich

unglücklich

.

Ich würde also gern (alleine) mit Daniel weitermachen...wenn wer gegenteiliger Meinung ist, soll sobst übernehmen!!!

21.02.2013, 16:20

Mulder

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Zitat:

Original von Equester
Ändert aber nichts daran, dass die dort unverantwortlich oft schludern

Das ist wirklich erschreckend. Dass sowas dann auch noch irgendwo hochgeladen wird. Ganz zu schweigen davon, dass da wohl auch versucht worden ist, den umständlichsten Lösungsweg zu wählen, den man finden konnte. Drei Mal (!) L'Hospital?

Meinetwegen kann man das hier ja mit L'Hospital machen, aber dann reicht doch einmal völlig aus, wenn man erstmal ein wenig umformt:

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to \frac{\pi}{2}} \frac{\tan(3x)}{\tan(x)} = \lim_{x \to \frac{\pi}{2}} \frac{\sin(3x)}{\sin(x)} \cdot \lim_{x \to \frac{\pi}{2}} \frac{\cos(x)}{\cos(3x)} = - \lim_{x \to \frac{\pi}{2}} \frac{\cos(x)}{\cos(3x)} \end{eqnarray*}$

Aber das ist wohl eine Glaubensfrage... Augenzwinkern

Augenzwinkern

Ansonsten will ich mich aber nicht einmischen, sonst wird's ja noch unübersichtlicher. Daniel0815 kann sich das am Ende ja alternativ nochmal anschauen, wenn er mag. Erstmal solltet ihr natürlich beim jetzigen Weg bleiben.

21.02.2013, 16:33

Daniel0815

Auf diesen Beitrag antworten »

@Equester: Wir haben für tan(x) die Ableitung 1/cos^2(x). Steht auch so auf meinem Formel Blatt. Wie ich tan(3x) ableiten soll verstehe ich nicht. Ich hab auch in meiner Formelsammlung nachgeschaut und nichts brauchbares gefunden.
Vielleicht verstehe ich etwas grundlegend falsch verwirrt

verwirrt

21.02.2013, 16:35

Equester

Auf diesen Beitrag antworten »

chris/original haben es schon erwähnt. Was wir bei dir vermissen ist die Anwendung der Kettenregel Augenzwinkern

Augenzwinkern

.

Willst du es mit diesem Fachbegriff nochmals versuchen? Sonst helfe ich nach.

21.02.2013, 16:46

Daniel0815

Auf diesen Beitrag antworten »

$\begin{eqnarray*} 3sin(3x)^2 \end{eqnarray*}$

Ok Equester. Also wäre dann die korrekte Ableitung.

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to \frac{\pi }{2} } \frac{\frac{1}{3sin^2(3x)} }{\frac{1}{cos^2(x)} } \end{eqnarray*}$

21.02.2013, 16:49

Che Netzer

Auf diesen Beitrag antworten »

(OT: )

Zitat:

Original von Mulder

Zitat:

Original von Equester
Ändert aber nichts daran, dass die dort unverantwortlich oft schludern

Das ist wirklich erschreckend. Dass sowas dann auch noch irgendwo hochgeladen wird.

Und am besten fand ich, dass bei der letzten Anwendung von l'Hospital (der auch grundsätzlich falsch formuliert und geschrieben wurde) noch die Bemerkung "Beim Ableiten ist hier die Kettenregel zu beachten!" stand Big Laugh

Big Laugh

21.02.2013, 16:54

Equester

Auf diesen Beitrag antworten »

verwirrt

Erst behauptest du wohl, dass die Ableitung $\begin{eqnarray*} 3sin(3x)^2 \end{eqnarray*}$ ist, und doch steht sie auf einmal im Nenner.
Das passt also schonmal nicht.

Zudem sagtest du, dass die Ableitung von tan²(x) 1/cos^2(x) sei (was richtig ist). Jetzt soll daraus ein Sinus werden?

Schau mal:

$\begin{eqnarray*} (tan²(3x))'=(tan²(u))'*u'=\frac{1}{cos²(u)}*u'=\frac{1}{cos²(3x)}*3 \end{eqnarray*}$

Unter Anwendung der Kettenregel mit u=3x und u'=3.
Das ist etwas das muss in der Hochschule sitzen!
Ist es nun klar?

Wir kommen also zum Zwischenergebnis von

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to \frac{\pi }{2} } \frac{\frac{3}{cos^2(3x)} }{\frac{1}{cos^2(x)} } \end{eqnarray*}$

Nun umformen bitte und das Quadrat "ausklammern".

21.02.2013, 17:07

Daniel0815

Auf diesen Beitrag antworten »

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to \frac{\pi }{2} }\frac{3(cos(x))^2}{(cos(3x))^2} \end{eqnarray*}$

Ok diese Formel macht es verständlich.
Sorry mir fehlen manchmal ein paar Basics.
Ist das so korrekt?

21.02.2013, 17:11

Equester

Auf diesen Beitrag antworten »

Yup, das passt soweit Freude

Freude

.

Die 3 nun vor dem Limes (das geht warum?) und dann das Quadrat "ausklammern".

21.02.2013, 17:21

Daniel0815

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich habe keine Idee warum ich die 3 vor den limes setzen kann. Auf die 3 kommt es bei der Grenzwert Betrachtung nicht mehr an und sie fällt weg. Vielleicht?!

$\begin{eqnarray*} 3\lim_{x \to \frac{\pi }{2} }(\frac{(cos(x)}{(cos(3x)})^2 \end{eqnarray*}$

21.02.2013, 17:27

Equester

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Die 3 fällt ja nicht weg. Sie wird nur vor den eigentlichen Grenzwert gesetzt.
Das geht, da wir es bei der 3 um einen konstanten Faktor zu tun haben.

Gut, soweit passt es nun. Nun muss man die Grenzwertsätze kennen. Den Satz für das Produkt.
Dieses besagt, dass wir den Limes in die Klammer reinziehen dürfen.
Berechne also den Grenzwert in der Klammer (mittels l'Hospital) und wir sind so gut wie am Ziel Augenzwinkern

Augenzwinkern

.

(Lass dir Zeit...bin solange essen)

21.02.2013, 17:51

Daniel0815

Auf diesen Beitrag antworten »

Guten Appetit. Ich verstehe nicht was du meinst! Pi/2 für x einsetzen und dann ableiten verwirrt

verwirrt

21.02.2013, 17:53

Jello Biafra

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Equester
Das geht, da wir es bei der 3 um einen konstanten Faktor zu tun haben.

Genaugenommen sind es die Grenzwertsätze, die das erlauben.

-bin wieder weg-

21.02.2013, 18:02

Equester

Auf diesen Beitrag antworten »

Genaugenommen sind es die Grenzwertsätze, die das erlauben.

- Jene, die sich mit den konstanten Faktoren befassen...genauso hab ich es gemeint Augenzwinkern

Augenzwinkern

.

Zitat:

Guten Appetit. Ich verstehe nicht was du meinst! Pi/2 für x einsetzen und dann ableiten verwirrt

Danke.
Jein. Pi/2 einsetzen musste vllt um festzustellen ob l'hospital anwendbar ist, auch wenn ich das ja schon verraten habe Augenzwinkern

Augenzwinkern

.
Grenzwertsatz bzgl dem Produkt anwenden ist aber erst mal der nächste Schritt.
Dieser erlaubt dir, wie bereits erwähnt, den Limes in die Klammer zu ziehen:

$\begin{eqnarray*} 3\lim_{x \to \frac{\pi }{2} }\left(\frac{(cos(x)}{(cos(3x)}\right)^2= 3\left(\lim_{x \to \frac{\pi }{2} }\frac{cos(x)}{cos(3x)}\right)^2 \end{eqnarray*}$

Die deinige Aufgabe soll nun sein, den Grenzwert des Terms in der Klammer zu bestimmen.

21.02.2013, 20:14

Daniel0815

Auf diesen Beitrag antworten »

Also mit der Kettenregel das aussen ableiten und innen die Quotientenregel anwenden? verwirrt

verwirrt

21.02.2013, 20:17

Equester

Auf diesen Beitrag antworten »

Wie meinst du das?
Wir sind gerade nur an $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to \frac{\pi }{2} }\frac{cos(x)}{cos(3x)} \end{eqnarray*}$ interessiert.
"Ganz normal" l'Hospital anwenden Augenzwinkern

Augenzwinkern

.

21.02.2013, 20:24

Daniel0815

Auf diesen Beitrag antworten »

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to \pi/2} \frac{-sin(x)}{-3sin(3x)} \end{eqnarray*}$

Ok. "Ganz normal" war wichtig Hammer

Hammer

! Ich war gerade weit weg von normal.

21.02.2013, 20:28

Equester

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Dann wieder willkommen an Bord^^.

Grenzwert angewandt auf diesen Term ergibt welchen Wert?

21.02.2013, 20:38

Daniel0815

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$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to \pi/2} \frac{-sin(x)}{-3sin(3x)} = \frac{-1}{-3} = \frac{1}{3} \end{eqnarray*}$

So müsste es richtig sein.

21.02.2013, 20:42

Equester

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Der Nenner passt nicht. Was ist $\begin{eqnarray*} sin(\frac{3}{2}\pi) \end{eqnarray*}$ Augenzwinkern

Augenzwinkern

21.02.2013, 20:50

Daniel0815

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-1 ! Also - $\begin{eqnarray*} \frac{1}{3} \end{eqnarray*}$

21.02.2013, 20:54

Equester

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Jetzt passts Freude

Freude

.

$\begin{eqnarray*} 3\lim_{x \to \frac{\pi }{2} }\left(\frac{(cos(x)}{(cos(3x)}\right)^2= 3\left(\lim_{x \to \frac{\pi }{2} }\frac{cos(x)}{cos(3x)}\right)^2=3\cdot\left(-\frac13\right)²=... \end{eqnarray*}$

Machst du vollens fertig? Augenzwinkern

Augenzwinkern

21.02.2013, 21:03

Daniel0815

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$\begin{eqnarray*} \frac{3}{1} \cdot \frac{1}{9} \end{eqnarray*}$

Very nice. Das geh ich morgen nochmal schön in Ruhe durch und dann sitzt es. Tausend Dank für die lange ausführliche Erklärung und die Geduld. Freude

Freude

ENDLICH. So Feierabend für heute! Gute Nacht L'Hospital:-) Und schönen Abend noch Equester. Danke nochmal!!

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