Binomialverteilung - Hemdenfabrik

21.02.2013, 16:44

Binomialverteilung - Hemdenfabrik

Von einem Hemdenfabrikanten werden jeweils 20 Hemden in einen Karton gepackt.

a) Ein Kaufhaus bestellt 5 Kartons. Der Einkäufer entnimmt jedem Karton 2 Hemden zur Überprüfung. Der Karton wird angenommen, wenn beide Hemden fehlerfrei sind. Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit folgender Ereignisse:

A: Ein Karton wird angenommen, obwohl er genau 2 fehlerhafte Hemden enthält.
B: Alle 5 Kartons werden angenommen, obwohl genau 2 fehlerhafte Hemden in jedem Karton sind.

b) 10% aller Hemden sind laut Hersteller fehlerhaft, weil ein Knopf fehlt ( $\begin{eqnarray*} F_1 \end{eqnarray*}$ ) oder eine Naht locker ist ( $\begin{eqnarray*} F_2 \end{eqnarray*}$ ). Der Fehler $\begin{eqnarray*} F_1 \end{eqnarray*}$ tritt mit einer Wahrscheinlichkeit von 4% auf. Die Fehler $\begin{eqnarray*} F_1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} F_2 \end{eqnarray*}$ treten gemeinsam mit einer Wahrscheinlichkeit von 0,1% auf. Mit welcher Wahrscheinlichkeit tritt der Fehler $\begin{eqnarray*} F_2 \end{eqnarray*}$ ? Überprüfen Sie das Auftreten der Fehler $\begin{eqnarray*} F_1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} F_2 \end{eqnarray*}$ auf stochastische Unabhängigkeit.
Eigentlich dachte ich es geht um Binomialverteilung (weil das das große Thema des Buches ist). Aber ich glaube das wird hier ohne Binomialverteilung gelöst.

c) X sei die Anzahl der fehlerhaften Hemden in einer Lieferung von 100 Hemden. Die Ausschussquote beträgt 10%. Bestimmen Sie den Erwartungswert und die Standardabweichung von X.

d) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass in der Lieferung aus c) 7 bis 13 fehlerhafte Hemden sind.?
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a)
Da 2 entommen werden bedeutet das ja: Ziehen ohne Zurücklegen. Dann ergibt sich also:

1. Hemd: $\begin{eqnarray*} \frac{18}{20} \end{eqnarray*}$

2. Hemd: $\begin{eqnarray*} \frac{17}{19} \end{eqnarray*}$

Damit ergibt sich: $\begin{eqnarray*} P(A)=\frac{18}{20}\cdot\frac{17}{19}=0,80526 \end{eqnarray*}$

Ist dann P(B) nicht einfach: $\begin{eqnarray*} P(B)=(\frac{18}{20}\cdot\frac{17}{19})^5=0,33860 \end{eqnarray*}$

b)
Wenn ich mir die zugehörige 4-Felder Tafel dazu zeichne (mit $\begin{eqnarray*} F_1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \bar{F}_1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} F_2 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \bar{F}_2 \end{eqnarray*}$ ), und diese anschließend aufülle erhalte ich für $\begin{eqnarray*} F_2 \end{eqnarray*}$ 9,9%. Also:

$\begin{eqnarray*} P(F_2)=0,099 \end{eqnarray*}$

Bei Überprüfung auf stochastische Unabhängigkeit erhalte ich eine falsche Aussage (Rechnung spar ich mir jetzt). Deshalb sind sie stochastisch voneinander abhängig.

c) Ich komme hier mit dem Begriff "Ausschussquote" nicht klar. Was bedeutet das? Heißt das, das 10% von 100 Hemden fehlerhaft sind, sprich also 10 von 100 Hemden sind kaputt? Ich hätte vielleicht vermutet, wenn es binomialverteilt ist (fehlerhaft & nicht fehlerhaft):

$\begin{eqnarray*} n=100 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} p=0,1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} E(X)=100 \cdot 0,1=10 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \sigma(X)=\sqrt{100 \cdot0,1\cdot 0,9}=3 \end{eqnarray*}$

d) Hier wäre es dann:

$\begin{eqnarray*} B(100; 0,1; 7\leq k\leq 13)=F(100; 0,1; 13)-F(100; 0,1; 6)=0,87612-0,11716=0,75896 \end{eqnarray*}$

Zu 75,90 % sind zwischen 7 bis 13 fehlerhafte Hemden in der Lieferung.

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Wäre nett wenn jemand mal drüber schauen könnte und mir sagen kann, was richtig und was falsch ist.

22.02.2013, 07:33

dinzeoo

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hab es jetzt nur grob überflogen, nachgerechnet hab ich auch nix. aber von der idee her sieht bis auf b) alles recht gut aus.

bei der b) würde ich es über folgende formel lösen:

$\begin{eqnarray*} P(F_1\cup F_2)=P(F_1)+P(F_2)-P(F_1\cap F_2) \end{eqnarray*}$

alternativ kannst deine vierfeldertafel posten, mal sehen was du da genau berechnet hast.

22.02.2013, 16:31

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Erstmal vielen Dank für die Rückmeldung.

Ja ich habe bemerkt, dass ich was bei der 4-Felder-Tafel vertauscht habe.
Ich stelle meine Tafel mal hoch.

Es ergibt sich dann für $\begin{eqnarray*} F_2 \end{eqnarray*}$ :

$\begin{eqnarray*} P(F_2)=0,061=6,10% \end{eqnarray*}$

Ist das jetzt richtig?

22.02.2013, 23:36

dinzeoo

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Zitat:

Original von Yu
Es ergibt sich dann für $\begin{eqnarray*} F_2 \end{eqnarray*}$ :

$\begin{eqnarray*} P(F_2)=0,061=6,10% \end{eqnarray*}$

Ist das jetzt richtig?

jepp, hab ich auch raus.

23.02.2013, 10:15

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Gut

Dann vielen Dank für die Hilfe =)

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