Unterschiede endlich/unendlichdim. Räume und Banach/Hilberträume |
| 21.02.2013, 18:34 | chaplin | Auf diesen Beitrag antworten » |
| Unterschiede endlich/unendlichdim. Räume und Banach/Hilberträume Hallo zusammen, ich habe morgen eine mündliche Prüfung in Funktionalanalysis und bereite mich noch etwas darauf vor. Der Prof meinte, dass er vorallem Verständnis abfragen wird. Zwei wichtige Themen, die er sicherlich fragen wird sind folgeden: 1. Unterschied von endlichdimensionalen zu unendlichdimensionalen Räumen 2. Unterschied von Hilbertraumtheorie und Banachraumtheorie Hat vielleicht jemand von euch Lust auf eine kleine Ideensammlung? Meine Ideen: Zu 1. Endlichdim. Räume: - alle Normen sind äquivalent, deshalb sind diese Räume immer vollständig - die Einheitskugel ist kompakt - beschränkte und abgeschlossene Mengen sind kompakt - Lineare Abbildungen sind immer stetig und kompakt Zu 2. Hilbertraum: - Zu einem abgeschlossenem Unterraum kann man immer ein orthogonales Komplement finden, sodass X in die direkte Summe der beiden UR zerlegt werden kann - Satz von Riesz - Spektralsatz für kompakte Operatoren - Parallelogrammgleichung Banachraum: - irgendwie läuft alles eher über den Dualraum - Jordannormalform für kompakte Operatoren Soviel würde mir einfallen. Aber gibt es noch mehr wesentliche Aspekte? |
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| 21.02.2013, 19:37 | Che Netzer | Auf diesen Beitrag antworten » |
| RE: Unterschiede endlich/unendlichdim. Räume und Banach/Hilberträume Auf Hilbert-Räumen ist natürlich das Skalarprodukt zentral. Dazu gehören adjungierte Operatoren, Orthogonalität etc. Auch Normquadrate sind dabei wichtig, die kann man nämlich als Skalarprodukt schreiben. Dass man selten Dualräume von Hilbert-Räumen betrachtet, liegt gerade beim Rieszschen Darstellungssatz begründet. Ein sehr wichtiges Konzept, das beim Übergang zu unendlichdimensionalen Räumen verloren geht, ist das einer ("schönen") Basis. Ansonsten kommt es auch darauf an, was ihr in eurer Vorlesung behandelt habt. Z.B. ließe sich noch etwas zu Reflexivität und Separabilität sagen, auch sind im Unendlichdimensionalen nicht alle Unterräume abgeschlossen etc. |
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| 21.02.2013, 21:43 | chaplin | Auf diesen Beitrag antworten » |
Ja, Reflexivität und Seperabilität wurde auch behandelt. Allerdings habe ich die Rolle der (Banachraum-)Adjungierten nicht ganz verstanden. Wozu wird sie benötigt? |
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| 21.02.2013, 21:53 | Che Netzer | Auf diesen Beitrag antworten » |
Den dualen Operator? Naja, ich weiß nicht, ob dir das als Anwendung genügt, aber für den Beweis, dass die -Räume reflexiv sind, benutzt man den. Zumindest in dem Beweis, den ich kenne. |
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| 21.02.2013, 21:59 | chaplin | Auf diesen Beitrag antworten » |
Hm, na gut. Danke vielmals. Ich hoffe mal, dass das gut geht morgen.... |
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