Zahlenmengen -> gerade oder ungerade Mächtigkeit? |
| 21.02.2013, 18:39 | AdriTetzi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| Zahlenmengen -> gerade oder ungerade Mächtigkeit? Meine Frage ist: Ist die Anzahl aller negativen ganzen Zahlen {-1, -2, -3, ..., -n} gerade oder ungerade? Mein Ansatzpunkt war die Überlegung ob das Produkt aller negativen ganzen Zahlen + oder - unendlich ergibt? Eine gerade Anzahl (z.B.: {-1, -2}) würde eine positive Zahl bringen, ein weiterer Faktor (und damit eine ungerade Anzahl an Faktoren) würde wieder in ein negatives Ergebnis resultieren. Meine Ideen: Ich habe ein Lösungsansatz weiß aber nicht ob mein Beweis sicher ist. 1) Die Mächtigkeit aller N (natürliche Zahlen (generell ohne 0)) und aller Z (ganze Zahlen) ist gleich groß, weil die Mengen bijektiv abbildbar sind. (Den genauen Beweis lasse ich hier weg) 2) Die Mächtigkeit aller N ist gleich der Mächtigkeit aller Z\0 \N (Aller ganzen Zahlen ohne 0 und ohne alle natürliche Zahlen) -> also alle negativen ganzen Zahlen Beweis: N ist auf Z\0\N bijektiv abbildbar durch n --> -(n) => wenn die Mächtigkeit von N gerade/ungerade ist ist die Mächtigkeit von Z\0\N auch gerade/ungerade 3) Annahme: Die Mächtigkeit aller Z ist ungerade! Beweis: (wie in 2 bewiesen) die Mächtigkeit M von N und die Mächtigkeit M* von Z\0\N sind gleich (M=M*) und daraus folgt dass 2*M = gerade --> plus die 0 => 2*M +1 -> eine ungerade Zahl! 4) Die Mächtigkeit von Z ist ungerade => (aus 1) ) die Mächtigkeit von N ist ungerade => (aus 2) ) die Mächtigkeit von Z\0\N ist ungerade => Es gibt eine ungerade Anzahl von negativen ganzen Zahlen => Das Produkt aller negativen ganzen Zahlen ist -unendlich! q.e.d. Was denkt ihr? |
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| 21.02.2013, 18:49 | weisbrot | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| RE: Zahlenmengen -> gerade oder ungerade Mächtigkeit? die mächtigkeit der negativen ganzen zahlen ist unendlich, also keine ganze zahl, also weder gerade noch ungerade (weil das keinen sinn machen würde). lg edit: oder meinst du die mächtigkeit von {-1, -2, -3, ..., -n}? |
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| 22.02.2013, 12:05 | AdrianTetzi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Natürlich scheint es sinnlos die Mächtigkeit der Zahlen als gerade oder ungerade festzulegen. Aber wenn man die Frage betrachtet, ob das Produkt aller negativen ganzen Zahlen +oder- unendlich ergibt dann ist doch der Gedankenansatz notwendig. Oder ist das Produkt aller negativen ganzen Zahlen nicht definiert? |
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| 22.02.2013, 12:13 | weisbrot | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
genau das ist der punkt. als unendliches produkt würde dieses nicht konvergieren, es macht demnach keinen sinn das als (ganze) zahl aufzufassen, geschweige denn dem ein vorzeichen zuzuordnen. lg |
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