Zahlenmengen -> gerade oder ungerade Mächtigkeit?

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AdriTetzi Auf diesen Beitrag antworten »
Zahlenmengen -> gerade oder ungerade Mächtigkeit?
Meine Frage:
Meine Frage ist:
Ist die Anzahl aller negativen ganzen Zahlen {-1, -2, -3, ..., -n} gerade oder ungerade?

Mein Ansatzpunkt war die Überlegung ob das Produkt aller negativen ganzen Zahlen + oder - unendlich ergibt?
Eine gerade Anzahl (z.B.: {-1, -2}) würde eine positive Zahl bringen, ein weiterer Faktor (und damit eine ungerade Anzahl
an Faktoren) würde wieder in ein negatives Ergebnis resultieren.

Meine Ideen:
Ich habe ein Lösungsansatz weiß aber nicht ob mein Beweis sicher ist.

1)

Die Mächtigkeit aller N (natürliche Zahlen (generell ohne 0)) und aller Z (ganze Zahlen) ist gleich groß, weil die Mengen bijektiv abbildbar sind. (Den genauen Beweis lasse ich hier weg)

2)

Die Mächtigkeit aller N ist gleich der Mächtigkeit aller Z\0 \N (Aller ganzen Zahlen ohne 0 und ohne alle natürliche Zahlen) -> also alle negativen ganzen Zahlen

Beweis: N ist auf Z\0\N bijektiv abbildbar durch n --> -(n)

=> wenn die Mächtigkeit von N gerade/ungerade ist ist die Mächtigkeit von Z\0\N auch gerade/ungerade


3)
Annahme: Die Mächtigkeit aller Z ist ungerade!
Beweis: (wie in 2 bewiesen) die Mächtigkeit M von N und die Mächtigkeit M* von Z\0\N sind gleich (M=M*) und daraus folgt dass 2*M = gerade --> plus die 0 => 2*M +1 -> eine ungerade Zahl!


4)
Die Mächtigkeit von Z ist ungerade => (aus 1) ) die Mächtigkeit von N ist ungerade => (aus 2) ) die Mächtigkeit von Z\0\N ist ungerade => Es gibt eine ungerade Anzahl von negativen ganzen Zahlen
=> Das Produkt aller negativen ganzen Zahlen ist -unendlich! q.e.d.


Was denkt ihr?
weisbrot Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Zahlenmengen -> gerade oder ungerade Mächtigkeit?
die mächtigkeit der negativen ganzen zahlen ist unendlich, also keine ganze zahl, also weder gerade noch ungerade (weil das keinen sinn machen würde).
lg

edit: oder meinst du die mächtigkeit von {-1, -2, -3, ..., -n}?
 
 
AdrianTetzi Auf diesen Beitrag antworten »

Natürlich scheint es sinnlos die Mächtigkeit der Zahlen als gerade oder ungerade festzulegen.
Aber wenn man die Frage betrachtet, ob das Produkt aller negativen ganzen Zahlen +oder- unendlich ergibt dann ist doch der Gedankenansatz notwendig.

Oder ist das Produkt aller negativen ganzen Zahlen nicht definiert?
weisbrot Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Oder ist das Produkt aller negativen ganzen Zahlen nicht definiert?

genau das ist der punkt. als unendliches produkt würde dieses nicht konvergieren, es macht demnach keinen sinn das als (ganze) zahl aufzufassen, geschweige denn dem ein vorzeichen zuzuordnen.
lg
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