Differentialgleichung 1. Ordnung

21.02.2013, 22:18	Matzed	Auf diesen Beitrag antworten »
Differentialgleichung 1. Ordnung Meine Frage: Hallo. Ich wollte mal fragen, ob mir bitte jemand bei dieser Aufgabe helfen kann. Die Auffüllgeschwindigkeit eines Toilettenspülkastens ist proportional zur Abweichung des Wasserpegels vom Normalniveau h0 = 30cm : dh/dt=k(h0-h), k=0,05 cm/s. Berechnen Sie, wie viel Zeit vergeht, bis der anfangs leere Behälter (h=0) sich bis zur Hälfte füllt, so dass er wieder benutzt werden kann. HINWEIS: Lösen Sie zunachst die inhomogene Differentialgleichung und berechnen Sie die Integrationskonstante durch Einsetzen der Anfangsbedingungen. Das Problem ist, dass ich eigentlich einen Ansatz habe. Also Trennung der Variablen usw.. Ich weiß aber nicht ob ich mit meinem Ansatz richtig liege. Wenn mir das mal jemand vorrechnen könnte wäre ich sehr dankbar. Meine Ideen:* dh/dt=k(h0-h) ---> dt dh=k(h0-h)dt ---> integrieren h+C1=k(ho-h)t+C2 ---> Zusammenfassen C1 u. C2 = C h=k(h0-h)t+C ---> Umstellen nach C h/[k(h0-h)t]=C ....?
21.02.2013, 22:40	K89	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Differentialgleichung 1. Ordnung Trennung der Variablen $\begin{eqnarray} \frac{dh}{h_{0} -h}=kdt \end{eqnarray}$ das h muß zum dh das jetzt integrieren
21.02.2013, 23:57	Matzed	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Differentialgleichung 1. Ordnung ok dh/(h0-h)=kdt --> ln(h0-h)+C1=kt+C2 ---> C1 und C2 zusammenfassen h0-h=exp(kt+C) h0-h=exp(k*t) +C Und weiter weiß ich wieder nicht
22.02.2013, 00:01	matzed2004	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Differentialgleichung 1. Ordnung Ich kann jetzt noch die gegebenen Werte einsetzten denke ich. Danach komme ich aber wieder nicht weiter. Ich habe hier zwar eine allgemeine Anleitung, wie ich die Gleichung anzugehen habe. Das Problem ist aber, dass ich es irgendwie nicht schaffe diese auf die Aufgabe zu übertragen.
22.02.2013, 15:54	matzed2004	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Differentialgleichung 1. Ordnung Hallo, kann mir bitte mal jemand weiter helfen. Ich komme hier wieder nicht mehr weiter. Also ich denke dass es soweit richtig ist, aber am nächsten Schritt scheitere ich. dh/(h0-h)=kdt --> ln(h0-h)+C1=kt+C2 ---> C1 und C2 zusammenfassen h0-h=exp(kt+C) h0-h=exp(k*t) +C für k kann ich jetzt 0,05 einsetzen und für h0 = 30 30-h=exp(0,05t) +C -h=exp(0,05t)+C +30 ? oder ist C etwa 30? Kann mir mal bitte jemand weiter helfen.
22.02.2013, 16:48	K89	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} \int \! \, \frac{dh}{h_{0} -h}=\int \! \, kdt \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} -ln(h_{0}-h)+C= kt \end{eqnarray}$ Minus vor ln hast du beim Integrieren vergessen Jetzt halt die Anfangsbedingungen einsetzten zB t=0s und h(t=0s)=0m dann hast du C Normalerweise setzt man gleich die Grenzen ein $\begin{eqnarray} \int_0^h \! \, \frac{dh}{h_{0} -h}=\int_0^t \! \, kdt \end{eqnarray}$ bzw $\begin{eqnarray} \int_{h_{1}}^{h} \! \, \frac{dh}{h_{0} -h}=\int_{t_{1}}^t \! \, kdt \end{eqnarray}$
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07.03.2013, 14:45	matzed2004	Auf diesen Beitrag antworten »
Ok. Es hat ein wenig gedauert, bis ich mich wieder um die Frage kümmern konnte, aber danke erst einmal für die Hilfe bis hier. Ich denke, damit kann ich etwas anfangen.

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