Taylor - Seite 3

24.02.2013, 22:08

Che Netzer

Ja, genau.
Jetzt müsstest du nur die ganzen Rechenschritte zusammensetze und ggf. Lücken füllen, aber ansonsten sind wir mit der Aufgabe durch.

24.02.2013, 22:12

Taylor15

Auf diesen Beitrag antworten »

Dann habe ich ja auf beiden Seiten das gleiche stehen.
Bin ich damit fertig oder wie?

24.02.2013, 22:13

Che Netzer

Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, das sagte ich gerade – zumindest, wenn du alle Schritte zusammensetzen und begründen kannst.
Mir scheint allerdings, dass dir die Restgliedabschätzung immer noch nicht ganz klar ist.

24.02.2013, 22:17

Taylor15

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Taylor

Zitat:

Original von Taylor15
Meine Frage:
Hallo leute ich habe gerade bei dieser Aufgabe probleme:

Sei f: ( -pi/2 , pi/2 ) pfeil R definiert durch

f(x) = ln(cosx). Berechnen sie das Taylopolynom T2 zweiten grades für f an der Stelle x0 = 0.

Zeigen sie das , dass für x element [ 0, pi/4 ] gilt:

$\begin{eqnarray*} |f(x) - T_{2}(x) |\leq \frac{2}{3}*x^3 \end{eqnarray*}$

Meine Ableitung:

f`(x) = $\begin{eqnarray*} - \frac{sin(x)}{cos(x)} \end{eqnarray*}$

f``(x) = $\begin{eqnarray*} - \frac{sin(x)*(-sin(x)- cos(x)^2}{(cos(x))^2)} \end{eqnarray*}$

Stimmmen die Ableitungen soweit?

Meine Ideen:
gepostet

Ja ist nicht 100 % klar . In der Aufgabenstellung stand ja das ich diese Ungleichung zeigen soll.

Vielleicht könntest du das kurz erklären?

24.02.2013, 22:22

Che Netzer

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Taylor
Aus der Formel für das Restglied $\begin{eqnarray*} R_2(x) \end{eqnarray*}$ erhalten wir für $\begin{eqnarray*} x\in[0,\tfrac\pi4] \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \lvert f(x)-T_2(x)\rvert=\lvert R_2(x)\rvert\leq\sup_{\xi\in[0,x]}\frac{\lvert f'''(\xi)\rvert}{3!}x^3\leq\frac1{3!}\sup_{\xi\in\left[0,\tfrac\pi4\right]}\lvert f'''(\xi)\rvert x^3=\frac1{3!}\lvert f'''(\tfrac\pi4)\rvert x^3=\frac23x^3\,. \end{eqnarray*}$

Kannst du dir die Begründungen für die einzelnen Gleichungen/Abschätzungen selbst erarbeiten?

24.02.2013, 22:25

Taylor15

Auf diesen Beitrag antworten »

Ist kompliziert aber ich hab's ein wenig verstanden . Danke

Muss ich bei der restgliedabschätzung immer so Vorgehen?

24.02.2013, 22:29

Che Netzer

Auf diesen Beitrag antworten »

Im Prinzip schon.
Du benutzt die Formel für das Restglied, schätzt den Term $\begin{eqnarray*} f^{(n+1)}(\xi) \end{eqnarray*}$ geeignet nach oben ab und hast dann eine obere Grenze für den gemachten Fehler bzw. für das Restglied.

Man hätte hier übrigens auch $\begin{eqnarray*} \frac13\frac{\sin x}{\cos^3x}x^3 \end{eqnarray*}$ als (bessere!) obere Schranke für das Restglied für $\begin{eqnarray*} x\in[0,\tfrac\pi4] \end{eqnarray*}$ erhalten können, wenn man gleich mit $\begin{eqnarray*} \sup_{\xi\in[0,x]}\lvert f'''(\xi)\rvert \end{eqnarray*}$ gearbeitet hätte, anstatt das nach oben durch $\begin{eqnarray*} \sup_{\xi\in\left[0,\tfrac\pi4\right]}\lvert f'''(\xi)\rvert \end{eqnarray*}$ abzuschätzen.

24.02.2013, 22:32

Taylor15

Auf diesen Beitrag antworten »

Ok alles klar danke Chenetzer.

« vorherige Seite 123

Neue Frage »

Antworten »

Taylor - Seite 3

Verwandte Themen