Taylor

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Taylor15 Auf diesen Beitrag antworten »
Taylor
Meine Frage:
Hallo leute ich habe gerade bei dieser Aufgabe probleme:

Sei f: ( -pi/2 , pi/2 ) pfeil R definiert durch

f(x) = ln(cosx). Berechnen sie das Taylopolynom T2 zweiten grades für f an der Stelle x0 = 0.

Zeigen sie das , dass für x element [ 0, pi/4 ] gilt:



Meine Ableitung:

f`(x) =

f``(x) =

Stimmmen die Ableitungen soweit?



Meine Ideen:
gepostet
Taylor15 Auf diesen Beitrag antworten »

Meine Taylorformel würde dann so aussehen:

latex] T2(x) = 0 + \frac{0}{1!}*x + .....[/latex]

Ich habe jeweils in die Funktionen für x = 0 eingesetzt.

Ich glaube irgendwas habe ich falsch gemacht oder?
 
 
Taylor15 Auf diesen Beitrag antworten »

Jetzt müsste es richtig dargestellt werden :

Dustin Auf diesen Beitrag antworten »

Hi Taylor15,

bis jetzt stimmt alles. Allerdings hast du bislang nur bis zum ersten Grad gerechnet Augenzwinkern
Taylor15 Auf diesen Beitrag antworten »



Jetzt müsste es stimmen oder?

Kannst du mir erklären wie ich bei der Aufgabe weiter vorgehen soll?
Dustin Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Jetzt müsste es stimmen oder?

Nein. Da hast du die Taylorformel falsch angewendet. Überprüf den letzten Term nochmal und wenn du nichts findest, dann erklär mir, wie du auf den letzten Summanden gekommen bist.
Taylor15 Auf diesen Beitrag antworten »

Ah ich glaub ich hab den Fehler so oder?

Dustin Auf diesen Beitrag antworten »

Schon besser, aber immer noch nicht richtig. Du hast falsch eingesetzt.Die 0 im Zähler über der 2! ist falsch.
Taylor15 Auf diesen Beitrag antworten »

Wieso ?

Wenn ich in die 2 Ableitung 0 einsetze , dann ergibt das 0.

Was mache ich denn falsch?
Dustin Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Wenn ich in die 2 Ableitung 0 einsetze , dann ergibt das 0.

Eben nicht. Vielleicht hast du die Klammern falsch gesetzt. Mir fällt nämlich gerade auf, dass in deinem ursprünglichen Post die Klammern bei der 2. Ableitung nicht richtig gesetzt sind.
Taylor15 Auf diesen Beitrag antworten »

Rechnung:

- sin(0) * ( -sin(0) - cos(0)^2 ) / cos(0)^2

das ergibt:

0* (-0 -1) / 1 = 0

Was stimmt da nicht?
Dustin Auf diesen Beitrag antworten »

Wie gesagt sind die Klammern bei der 2.Ableitung falsch gesetzt. Außerdem hast du auch die Quotientenregel nicht richtig angewendet. Das hatte ich zuerst nicht bemerkt, sorry.

Die 2. Ableitung lautet richtig
Taylor15 Auf diesen Beitrag antworten »

Oh ja dann steht wohl im Zähler . Blöder Fehler von mir.

Hast du einen Tipp für mich wie ich weiter Vorgehen muss.

Ich weiß nicht so richtig wie ich die Ungleichung zeigen soll.
Dustin Auf diesen Beitrag antworten »

Wie lautet denn jetzt das Taylorpolynom richtig?

Tipp für die Ungleichung: Restgliedformel!
Dustin Auf diesen Beitrag antworten »

Dazu brauchst du die 3. Ableitung, und dafür würde ich erstmal die zweite Ableitung vereinfachen.
Taylor15 Auf diesen Beitrag antworten »

Die zweite Ableitung wäre vereinfacht - 1/cos^2(x)

Jetzt die quotientenregel:

- -sin^2x /cos^4(x)

Stimmt die 3 Ableitung?
Dustin Auf diesen Beitrag antworten »

Nein. Die Ableitung von cos²(x) ist nicht -sin²(x). Produktregel!

Außerdem glaube ich, hast du die Quotientenregel falsch im Kopf.

Richtig ist:
Taylor15 Auf diesen Beitrag antworten »

Stimmt jetzt die Ableitung:

Taylor15 Auf diesen Beitrag antworten »

Ein minus zeichen steht noch vor dem bruch :

Dustin Auf diesen Beitrag antworten »

Das ist jetzt leider ganz falsch. Die 2. Ableitung war doch

So, das muss jetzt nochmal abgeleitet werden, und zwar mit Quotientenregel. Jetzt erklär mir mal, wie du da auf dein Ergebnis kommst?!
Taylor15 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich hoffe jetzt stimmt , ansonsten weiss ich nicht weiter:

Taylor15 Auf diesen Beitrag antworten »



Ok?
Dustin Auf diesen Beitrag antworten »

Du denkst immer noch, die Ableitung von cos²(x) sei -sin²(x), das stimmt aber nicht!
Leite doch mal bitte cos²(x) richtig ab. Produktregel!
Taylor15 Auf diesen Beitrag antworten »



Jetzt müsste es stimmen oder?
Dustin Auf diesen Beitrag antworten »

Ja smile Wobei da, wo du eine 1 stehen hast, auch eine 2 stehen müsste. Aber dein Endresultat stimmt jedenfalls.

OK, und wie lautet nun das Restglied?
Taylor15 Auf diesen Beitrag antworten »

Mein drittes Glied von der Taylorformel würde so aussehen:

0/3! *x^3

Oder was meinst du genau?
Dustin Auf diesen Beitrag antworten »

Ich meine das Restglied. Das müsstet ihr auf jeden Fall gemacht haben, sonst kann man die Aufgabe nicht lösen.
Hast du die Formel fürs Restglied irgendwo stehen?
Taylor15 Auf diesen Beitrag antworten »

Das müsste die hier sein oder?

ABer wie benutze ich die genau ?

Was setze ich für das epsilon ein?

Ich habe da grosse probleme.
Dustin Auf diesen Beitrag antworten »

Genau, das ist sie Freude

Das Epsilon ist eine unbekannte Zahl im betrachteten Intervall, hier also
Da Epsilon nicht genau bestimmt werden kann, kann man das Restglied nicht exakt bestimmen, sondern nur nach oben abschätzen.
Das heißt konkret: Du überlegst dir, für welches Epsilon der sin möglichst groß und der cos³ möglichst klein wird (du kannst ja in der 3. Ableitung noch einen cos kürzen).
Taylor15 Auf diesen Beitrag antworten »

Bei Pi wäre der sin glaub ich 1 . Inwieweit hilft mir das?
Dustin Auf diesen Beitrag antworten »

Gar nicht, weil ja Epsilon zwischen 0 und pi/4 liegen muss Augenzwinkern Wo wird in diesem Bereich der sin maximal?
Taylor15 Auf diesen Beitrag antworten »

Bei Pi/4 ist der Sinus maximal oder?

Was muss ich denn jetzt genau weiter machen?
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »

Du bist wohl bei angekommen.
Jetzt bilde den Betrag und suche dessen Maximum auf .

PS:
Eigentlich lässt sich die zu zeigende Aussage noch verbessern, aber egal.
Und: Hier kann gerne jederzeit jemand anderes übernehmen.
Taylor15 Auf diesen Beitrag antworten »

Müsste das maximum nicht bei pi/4 liegen?
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »

Genau. (bei der Abgabe solltest du das noch begründen)
Jetzt bilde also .
Taylor15 Auf diesen Beitrag antworten »

Da kommt dann 0,027 raus .

Richtig?
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »

Bitte nicht als Dezimalzahl schreiben...
Du kannst alle Werte exakt angeben.
Taylor15 Auf diesen Beitrag antworten »

Kann es sein das nur 2 übrig bleibt?
Taylor15 Auf diesen Beitrag antworten »

Tschuldigung das müsste rauskommen oder?

Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Taylor15
Tschuldigung das müsste rauskommen oder?


Ja, und nun vereinfache das mal.
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