Substituieren bei Ableitungen - Grundsatzfrage

22.02.2013, 01:29	NordKind2	Auf diesen Beitrag antworten »
Substituieren bei Ableitungen - Grundsatzfrage Meine Frage: Ich wundere mich warum ich zwar bei der Integration erfolgreich Substituieren kann, diese Methode aber umgekehrt bei Ableitungen nicht funktioniert. Hier mal zwei einfache Beispiele um meine Frage zu veranschaulichen: $\begin{eqnarray} \int \! x^4 \, dx =\frac {1}{5} x^5 \end{eqnarray}$ Weg über Substitution: $\begin{eqnarray} \int \! x^4 \, dx \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} u=x^2 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} -> \frac {du}{dx}=2x <br /> -> dx = \frac {du}{2u^{\frac {1}{2}}} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} -> \frac {1}{2}\int \! u^2u^{-\frac{1}{2}} \, du = \frac {1}{2}\int \! u^{1,5} \, du = \frac{1}{5}u^{2,5}<br /> <br /> \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} u=x^2 \end{eqnarray}$ folgt $\begin{eqnarray} \frac{1}{5}x^5 \end{eqnarray}$ Diese Art der Substitution meine ich. Wenn man das gleiche bei einer Ableitung versucht funktioniert das allerdings nicht. Mich interessiert nun warum, denn ich wüsste nicht was dagegen sprechen könnte (Außer dass es offensichtlich nicht geht^^) Aber ich würde gern den Hintergrund verstehen. Der Vollständigkeit halber: $\begin{eqnarray} \frac{d(x^2)}{dx}=2x \end{eqnarray}$ mit Substitution u=x^2 $\begin{eqnarray} dx = \frac {du}{2u^{\frac {1}{2}}} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \frac{d(u)}{\frac {du}{2u^{\frac {1}{2}}}}=\frac{d(u2u^{\frac {1}{2}})}{du} = \frac{d(2u^{1,5})}{du}=3u^{0,5}<br /> \end{eqnarray}$ Meine Ideen: Naja man sieht, dass es zu keiner richtigen Lösung führt. Wenn das Verfahren aber bei Integration so klappt, wieso dann nicht bei Differation? Beste Grüße!
22.02.2013, 09:39	Ehos	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich sehe nicht den Sinn deiner Rechnung. Die Substitution beim Differenzieren und Integrieren läuft doch wie folgt: Ableiten einer verketteten Funktion f[g(x)] mittels Kettenregel ergibt $\begin{eqnarray} \tfrac{df}{dx}=\tfrac{df}{dg}\tfrac{dg}{dx} \end{eqnarray}$ Integriert man beide Seiten, bekommt man die Formel zur Substitution von Integralen $\begin{eqnarray} f(x)=\int\,\tfrac{df}{dg}\tfrac{dg}{dx}\,dx \end{eqnarray}$ Die untere Formel ist also die Umkehrung der oberen. ---------------------------- Deine Rechnung ist keine Substitution im obigen Sinn, denn ersetzt man in $\begin{eqnarray} \tfrac{du}{dx}=2x \end{eqnarray}$ das Differenzial $\begin{eqnarray} dx=\tfrac{du}{2\sqrt{u}} \end{eqnarray}$ , ergibt sich $\begin{eqnarray} 2\sqrt{u}\cdot \underbrace{\tfrac{du}{du}}_{=1}=2x \end{eqnarray}$ , woraus nach Division durch 2 die Identität $\begin{eqnarray} \sqrt{u}=x \end{eqnarray}$ folgt, was wiederum die Substitution u=x² ergibt.

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