Berechnung der Mantelfläche

22.02.2013, 10:12	mech_92	Auf diesen Beitrag antworten »
Berechnung der Mantelfläche Meine Frage: Hey ich soll von dieser Ellipse $\begin{eqnarray} \frac{x^2}{4}+y^2=1 \end{eqnarray}$ Die Mantelfläche des Rotationskörpers bestimmen. Rotiert wird die obere hälfte um die x -Achse Die formel für die Mantelfläche lautet $\begin{eqnarray} Mx= 2\pi \int_a^b \! y\sqrt{1+(y')^2} \, dx \end{eqnarray}$ Meine Ideen: zuerst stell ich die Ellipsen Gleichung nach y um $\begin{eqnarray} y=\sqrt{-\frac{x^2}{4} +1} \end{eqnarray}$ danach leit ich die Gleichung ab $\begin{eqnarray} y'=-\frac{x}{4\sqrt{-\frac{x^2}{4}+1 } } \end{eqnarray}$ und setzte ein $\begin{eqnarray} Mx = 2\pi \int_a^b \! \sqrt{\frac{-x^2}{4}+1 }\sqrt{1+\left(-\frac{x}{4\sqrt{-\frac{x^2}{4}+1 } } \right)^2 } \end{eqnarray}$ stimmt das soweit??
22.02.2013, 11:42	riwe	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Berechnung der Mantelfläche ich würde mir da einige arbeit ersparen, und zwar so: einsetzen von $\begin{eqnarray} y^\prime=-\frac{x}{4y} \end{eqnarray}$ und nun das $\begin{eqnarray} y \end{eqnarray}$ vor der wurzel in diese bringen
22.02.2013, 11:44	Ehos	Auf diesen Beitrag antworten »
Das ist ok. Beim Integral in der letzten Zeile fehlt noch das "dx". Vereinfache den Integranden, indem du alles unter eine Wurzel bringst. Zu Integrieren ist übrigens im x-Intervall [-2;+2], weil die Halbachse der Ellipse die Länge a=2 hat
22.02.2013, 13:40	mech_92	Auf diesen Beitrag antworten »
Ah okay danke ich komm jetzt auf folgenden Term $\begin{eqnarray} 2\pi \int_a^b \! \sqrt{\frac{-x^2}{4}+\sqrt{\frac{-x}{4}+1 } } \, dx \end{eqnarray}$ wie kann ich den noch vereinfachen ich steh gerade auf dem Schlauch :P ?
23.02.2013, 12:03	mech_92	Auf diesen Beitrag antworten »
oh das war falch es muss das hier sein $\begin{eqnarray} y\sqrt{1+\left(\frac{-x^2}{4y} \right)^2 } \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} y\sqrt{1-\frac{x^2}{16y^2} } \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \sqrt{y^2-\frac{x^2}{16} } \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \sqrt{(\frac{-x^2}{4}+1)-\frac{x^2}{16} } \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \sqrt{\frac{-5x^2}{16}+1 } \end{eqnarray}$
25.02.2013, 12:26	mech_92	Auf diesen Beitrag antworten »
Wenn ich jedoch diese Funktion mit dem Taschenrechner im Bereich 2/-2 integriere kommt error:P
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28.02.2013, 17:31	mech_92	Auf diesen Beitrag antworten »
okay habs raus hatte einen vorzeichenfehler drin :P

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