Fragen zu Aufgaben mit Identitätssatz

22.02.2013, 10:50

Stefan03

Fragen zu Aufgaben mit Identitätssatz

Hallo,

$\begin{eqnarray*} j \end{eqnarray*}$
ich hätte einige Fragen bzgl. der Anwendung des Identitässatzes.
Die Frage ist:

Gibt es eine hol. Fkt $\begin{eqnarray*} f:\mathbb{C} \to \mathbb{C} mit f(\frac{1}{n})=\frac{n}{2n-1} \forall n \in \mathbb{N} \end{eqnarray*}$ .
Dazu würde ich wie folgt vorgehen:
Definiere $\begin{eqnarray*} g:\mathbb{C}\backslash\{2\} \to \mathbb{C}, g(z)=\frac{1}{2-z} \end{eqnarray*}$ .
Die Menge $\begin{eqnarray*} M:=\{\frac{1}{n}\} \end{eqnarray*}$ hat 0 als Häufungspunkt und da $\begin{eqnarray*} f|_{\mathbb{C}\backslash\{2\}}(z)=g(z) \end{eqnarray*}$ simmen f und g auf M überein. g hat aber bei z=2 einen Pol und somit exisitiert keine Fortsetzung auf ganz $\begin{eqnarray*} \mathbb{C} \end{eqnarray*}$ .
Ist das so korrekt oder geht es vielleicht etwas "schöner".

Dann folgt auch gleich die 2. Frage, ähnliches Problem.
Sei $\begin{eqnarray*} r>\frac{1}{2}, D_r=\{z\in \mathbb{C}: |z|<r\} \end{eqnarray*}$ . Für welche r gibt es eine hol. Fkt. $\begin{eqnarray*} f: D_r \to \mathbb{C} \text{ mit } f(\frac{1}{n})=(\frac{1}{n-1}), n \ge 2 \end{eqnarray*}$ .
Gehe ich analog vor, def. ich $\begin{eqnarray*} g:\mathbb{C}\backslash\{1\} \to \mathbb{C}, g(z)=\frac{-z}{z-1} \end{eqnarray*}$ . f und g stimmen wieder auf M überein und da g einen Pol bei z=1 hat, muss r<1 sein, um sie auf D_r fortsetzen zu können.
Aber irgendwie scheint mir das doch etwas komisch, weil ich ja in gewisser Weise doch durch 0 bei g teile, wenn |z| nur ein bisschen kleiner ist als 1 smile

22.02.2013, 11:57

Che Netzer

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RE: Fragen zu Aufgaben mit Identitätssatz

Zitat:

Original von Stefan03
Aber irgendwie scheint mir das doch etwas komisch, weil ich ja in gewisser Weise doch durch 0 bei g teile, wenn |z| nur ein bisschen kleiner ist als 1 smile

Das kann ja ruhig passieren, $\begin{eqnarray*} x\mapsto\frac1x \end{eqnarray*}$ ist ja auch differenzierbar auf $\begin{eqnarray*} \mathbb R\setminus\{0\} \end{eqnarray*}$ .
Und du teilst ja nicht wirklich durch Null, sondern hast nur eine betragsmäßig kleine Zahl im Nenner.

22.02.2013, 12:04

RavenOnJ

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Mit einer Einschränkung:
r könnte auch 1 sein, dann wäre f immer noch holomorph, da das Gebiet $\begin{eqnarray*} D_r \end{eqnarray*}$ offen ist und alle Elemente aus ihm betragsmäßig kleiner als 1.

22.02.2013, 12:27

Stefan03

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OK, danke.

Noch eine Frage zur Aufgabe 1.

Wenn es ein hol f gibt, dann ist f insbesondere stetig, d.h.
$\begin{eqnarray*} f(0)=\lim\limits_{n \to \infty} f(\frac{1}{n})=\lim\limits_{n \to \infty} \frac{n}{2n-1}=\frac{1}{2} \end{eqnarray*}$

Kann ich mit dieser Idee auch irgendwie weiter argumentieren?

22.02.2013, 12:41

Che Netzer

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Naja, damit hast du $\begin{eqnarray*} f(0) \end{eqnarray*}$ bestimmt. Ich wüsste aber nicht, wie dir das weiterhelfen sollte.

22.02.2013, 12:41

RavenOnJ

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Was willst du weiter argumentieren? Ist die Aufgabe nicht zu Ende? Du hattest doch gezeigt: M hat Häufungspunkt bei 0, g stimmt auf M mit f überein, also ist f=g. Außerdem ist g nicht holomorph auf $\begin{align*} \mathbb C \end{align*}$ . Es gibt also kein solches auf ganz $\begin{align*} \mathbb C \end{align*}$ holomorphes f.

Oder gibt es noch eine Fortsetzung der Aufgabe?

22.02.2013, 12:46

Stefan03

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Doch, die Aufgabe ist damit schon fertig, sie geht nicht mehr weiter...

Wir hatten nur mal eine Aufgabe gemacht, wobei wir die Stetigkeit ausgenutzt haben und das f als $\begin{eqnarray*} 2 id|_{\mathbb{C}} \end{eqnarray*}$ geschrieben haben, wenn $\begin{eqnarray*} f(\frac{1}{n})=\frac{1}{2n} \end{eqnarray*}$ und dies dann zu einem Widerspruch geführt, aber da gab es noch eine weitere Bedinungen.

Aber hier kann ich ja f nicht als irgendein Vielfaches der id schreiben und deswegen wird das hier eher wenig konstruktiv sein...

22.02.2013, 12:50

Che Netzer

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In dem genannten anderen Beispiel ist $\begin{eqnarray*} f(0)=0 \end{eqnarray*}$ auch vorerst keine Hilfe, da müssten dann diese weiteren Bedingungen eine Rolle spielen.

Außerdem stimmt die Folgerung $\begin{eqnarray*} f=2\operatorname{id} \end{eqnarray*}$ nicht.

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