Komplexe Zahlen

22.02.2013, 12:17

Alexandra Ardanex

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Komplexe Zahlen

Meine Frage:
Hallo zusammen wir betrachten
$\begin{eqnarray*} z_1 := (\frac{1}{2-i})^2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} z_2 := (1+ \sqrt{2}i )e^{-i \frac{ \pi}{2}} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} z_3 := (1+i)^{80} \end{eqnarray*}$

Ich soll nun $\begin{eqnarray*} z_1 , z_2 , z_3 \end{eqnarray*}$ in der Form

$\begin{eqnarray*} x + iy \end{eqnarray*}$ schreiben mit $\begin{eqnarray*} x, y \in \mathbb R \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Bei $\begin{eqnarray*} z_1 \end{eqnarray*}$ habe ich noch einen Ansatz hab es zwar ausmultipliziert jedoch kann ich dann den Nenner trotzdem nicht trennen, damit ich die Form $\begin{eqnarray*} x + iy \end{eqnarray*}$ bekommen.
Bei $\begin{eqnarray*} z_2 , z_3 \end{eqnarray*}$ habe ich gar keinen Schimmer. Danke im Voraus.

22.02.2013, 12:22

Alexandra Ardanex

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RE: Komplexe Zahlen
Ok. z_1 ist abgehackt. Erweitern und ich habe es raus. $\begin{eqnarray*} z_2, z_3 \end{eqnarray*}$ verbleibt noch.

22.02.2013, 12:24

Stefan03

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Hi,

bei z1 ist Ausmultiplizieren sicher eine gute Idee. Danach musst du den Nenner reell machen und dann kannst du in Re- un Im-Teil aufteilen.

Bei z2: Was weißt du über $\begin{eqnarray*} e^{it} \end{eqnarray*}$ Stichwort: Euler-Identität

Bei z3: evtl. zuerst in Polarkoord. umschreiben und dann Potenzregeln (nur eine Vermutung, hab ich nicht versucht, aber schaut sehr stark danach aus smile

smile

)

22.02.2013, 12:29

Alexandra Ardanex

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Euler Euler hm. Geht denn das hier: $\begin{eqnarray*} \sqrt{2} \sqrt{-1}=-2 \end{eqnarray*}$ ??? Eher nicht oder ?

Es ist ja $\begin{eqnarray*} \sqrt{-1}=i \end{eqnarray*}$

22.02.2013, 12:31

Stefan03

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$\begin{eqnarray*} e^{it}=\cos t + i\sin t \end{eqnarray*}$

22.02.2013, 12:37

Alexandra Ardanex

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Zitat:

Original von Alexandra Ardanex
Euler Euler hm. Geht denn das hier: $\begin{eqnarray*} \sqrt{2} \sqrt{-1}=-2 \end{eqnarray*}$ ??? Eher nicht oder ?

Es ist ja $\begin{eqnarray*} \sqrt{-1}=i \end{eqnarray*}$

Ja/Nein?

Die Lösung für $\begin{eqnarray*} z_2 \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} z_2=\sqrt{2}-i \end{eqnarray*}$

Aber wie kommt man denn darauf $\begin{eqnarray*} e^{i \pi}=-1 \end{eqnarray*}$ Wie leite ich mir dann her was $\begin{eqnarray*} e^{-i \frac{\pi}{2}} \end{eqnarray*}$ ist ?

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22.02.2013, 12:41

Stefan03

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Zitat:

Original von Alexandra Ardanex

Euler Euler hm. Geht denn das hier: $\begin{eqnarray*} \sqrt{2} \sqrt{-1}=-2 \end{eqnarray*}$ ??? Eher nicht oder ?

Ja/Nein?

Nein, das geht nicht...

Einfach mal für t in die allg. Formel das $\begin{eqnarray*} -\frac{\pi}{2} \end{eqnarray*}$ einsetzen...

22.02.2013, 12:50

Alexandra Ardanex

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Dann komme ich auf $\begin{eqnarray*} z_2=-i+\sqrt{2} *-i \end{eqnarray*}$ ist aber ja falsch.

22.02.2013, 13:48

Steffen Bühler

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Stefan ist wohl immer noch off..

Zitat:

Original von Alexandra Ardanex
Dann komme ich auf $\begin{eqnarray*} z_2=-i+\sqrt{2} *-i \end{eqnarray*}$

Nach dem Pluszeichen hast Du den Faktor i vergessen.

Viele Grüße
Steffen

22.02.2013, 13:59

Alexandra Ardanex

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RE: Komplexe Zahlen
$\begin{eqnarray*} z_2 := (1+ \sqrt{2}i )e^{-i \frac{ \pi}{2}} \end{eqnarray*}$

Wenn ich doch jetzt aber Eulerform dafür verwende (vorher noch das ausmultipliziere) dann erhalte ich doch -i für $\begin{eqnarray*} e^{-i \frac{ \pi}{2}} \end{eqnarray*}$ und für $\begin{eqnarray*} \sqrt{2} e^{-i \frac{ \pi}{2}} \end{eqnarray*}$ doch $\begin{eqnarray*} -i \sqrt{2} \end{eqnarray*}$ ???

22.02.2013, 14:00

Alexandra Ardanex

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RE: Komplexe Zahlen
ahja da ist noch ein i Hammer

Hammer

22.02.2013, 14:04

Steffen Bühler

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RE: Komplexe Zahlen

Zitat:

Original von Alexandra Ardanex
$\begin{eqnarray*} z_2 := (1+ \sqrt{2}i )e^{-i \frac{ \pi}{2}} \end{eqnarray*}$

Wenn ich doch jetzt aber Eulerform dafür verwende (vorher noch das ausmultipliziere) dann erhalte ich doch -i für $\begin{eqnarray*} e^{-i \frac{ \pi}{2}} \end{eqnarray*}$

Ganz genau! Und nun:

$\begin{eqnarray*} (1+ \sqrt{2} \cdot i ) \cdot (-i) = ((-i) + \sqrt{2} \cdot i \cdot (-i)) = ... \end{eqnarray*}$

Viele Grüße
Steffen

22.02.2013, 14:09

Alexandra Ardanex

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Das ergibt $\begin{eqnarray*} z_2=\sqrt{2}-i \end{eqnarray*}$

Und bei $\begin{eqnarray*} z_3 \end{eqnarray*}$ ? ist ja 80 im Exponenten. Wie kann ich das irgendetwas machen?

22.02.2013, 14:17

Steffen Bühler

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Zitat:

Original von Alexandra Ardanex
Und bei $\begin{eqnarray*} z_3 \end{eqnarray*}$ ? ist ja 80 im Exponenten.

Das erschreckt uns doch nicht. In Polarform bringen, Betrag hoch 80, Winkel mal 80.

Viele Grüße
Steffen

22.02.2013, 14:19

Che Netzer

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Meine Empfehlung: Zuerst einmal $\begin{eqnarray*} (1+\mathrm i)^2 \end{eqnarray*}$ ausrechnen.

22.02.2013, 14:25

Steffen Bühler

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Zitat:

Original von Che Netzer
Meine Empfehlung ...

Äh, ja, in der Tat. Gott

Gott

Der eine sieht's, der andere nicht.

Viele Grüße
Steffen

22.02.2013, 15:18

Alexandra Ardanex

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$\begin{eqnarray*} (1+\mathrm i)^2=2i \end{eqnarray*}$ hm und d.h. jetzt noch, dass ich es hoch 40 nehmen muss ? Damit ich auf $\begin{eqnarray*} (1+\mathrm i)^{80} \end{eqnarray*}$ komme?

22.02.2013, 15:21

Steffen Bühler

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Richtig, und dabei daran denken, was $\begin{eqnarray*} i^4 \end{eqnarray*}$ ist.

22.02.2013, 16:00

Alexandra Ardanex

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gibt es da einen Trick wie ich das schnell und ohne Taschenrechner lösen kann ?
$\begin{eqnarray*} (2i)^{40} \end{eqnarray*}$

22.02.2013, 16:05

loci

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ja der aus dem vorangegangen post Augenzwinkern

Augenzwinkern

$\begin{eqnarray*} ((2i)^4)^{10}=\cdots \end{eqnarray*}$

22.02.2013, 16:09

Steffen Bühler

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Die Zahl $\begin{eqnarray*} i^{40} \end{eqnarray*}$ ist Dir ja klar, denke ich.

$\begin{eqnarray*} 2^{40} \end{eqnarray*}$ im Kopf wird schwierig, die hat immerhin 12 Stellen. Ich glaube aber nicht, daß dies verlangt ist, Du kannst die Zweierpotenz auch so stehenlassen.

EDIT: Oder als $\begin{eqnarray*} 16^{10} \end{eqnarray*}$ schreiben, was auch nicht viel hübscher ist.

Viele Grüße
Steffen

22.02.2013, 16:34

Alexandra Ardanex

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Ok vielen Dank Leute Freude

Freude

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