Französische Eisenbahnmetrik beweisen

22.02.2013, 14:49

Domi91

Französische Eisenbahnmetrik beweisen

Meine Frage:
Hallo.
Ich soll zeigen, dass die französische Eisenbahnmetrik

$\begin{eqnarray*} d(A,B)=| | A-B | | \end{eqnarray*}$ falls A,B auf einer Graden durch P liegen.
Sonst:
$\begin{eqnarray*} d(A,B)=| | A-P | | + | | P-B | | \end{eqnarray*}$

tatsächlich eine Metrik ist.

Meine Ideen:
Ich weiss sowohl was eine Metrik als auch eine Norm ist.
Ich versuche also die 3 Metrikvorrausetzungen bei dieser Metrik nachzuweisen.
$\begin{eqnarray*} d(A,B)\geq 0 \end{eqnarray*}$ wäre also mein Anfang. Aber ich blick irgendwie noch nicht ganz durch wie ich das jetzt zeigen soll. Ich weiss zwar, dass eine Norm niemals negativ sein kann ( da eine Länge ja immer positiv ist), weiss aber nicht wie ich verfahren muss.
Würde mich über Hilfe sehr freuen!

22.02.2013, 14:54

Magnitude

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Eine Norm hat bestimmte Eigenschaften. Verwende diese.

22.02.2013, 15:35

Domi91

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Wenn ich also beweise, dass $\begin{eqnarray*} | | A-B | | \end{eqnarray*}$ tatsächlich eine Norm ist könnte ich die Metrik für den ersten Fall beweisen, da eine Metrik ja auch als Norm definiert werden kann?

Definitheit: $\begin{eqnarray*} \|x\| = 0 \;\Rightarrow\; x = 0 \end{eqnarray*}$

In diesem Falle also $\begin{eqnarray*} \|A-B\| = 0 \;\Rightarrow\; A-B = 0 \end{eqnarray*}$

Also wäre A=B und somit d(A,B)=0!

Dreiecksungleichung $\begin{eqnarray*} \|x + y\| \leq \|x\| + \|y\| \end{eqnarray*}$

In diesem Falle also $\begin{eqnarray*} \|A+(-B)\| \leq \|A\| + \|-B\| \end{eqnarray*}$

Wie mache ich dann hier weiter und wie verfahre ich bei der Homogenität, da ich ja hier garkein Faktor zum rausziehen habe.
Ich hoffe die Ansätze sind nicht völlig verkehrt Big Laugh

22.02.2013, 15:42

Magnitude

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Zitat:

Ich kann diesem Gewirr nicht folgen.
Eine Metrik kann i.A. nicht als Norm definiert werden. Schon allein, weil eine Metrik zwei-stellig ist.
Allerdings induziert jede Norm ||.|| eine Metrik d(x,y):=||x-y|| .
Nicht aber umgekehrt.
|.| ist hier mit ziemlicher Sicherheit eine Norm, alles andere wäre relytiv sinnentleert.

Die Definitheit passt so.

Zur Dreiecksungleichung: Erst überlegen was hier eigentlich gezeigt werden soll.
Hier ist leider eine nicht wirklich schöne Fallunterscheidung nötig.

22.02.2013, 16:19

weisbrot

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beim beweis der metrik-axiome sollte man aber schon die fälle unterscheiden, die auch bei der definition dieser metrik unterschieden werden!
lg

22.02.2013, 17:35

Domi91

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Ok
also jetzt der Beweis der Dreiecksungleichung:

1.Fall: A und B auf einer Gerade mit P; B und C nicht auf einer Gerade mit p
$\begin{eqnarray*} d(A,B)+d(B,C)= | | A-B | | + | | B-P | | + | | P-C | |<br /> \geq | | A-B+B-P+P-C | | = | | A-C | | = d(A,C) \end{eqnarray*}$

Ist das für den ersten Fall korrekt?

23.02.2013, 12:56

Domi91

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Habs mittlerweile verstanden. Danke für die Antworten Augenzwinkern

23.02.2013, 12:59

Che Netzer

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Zitat:

Original von Domi91
1.Fall: A und B auf einer Gerade mit P; B und C nicht auf einer Gerade mit p
$\begin{eqnarray*} d(A,B)+d(B,C)= | | A-B | | + | | B-P | | + | | P-C | |<br /> \geq | | A-B+B-P+P-C | | = | | A-C | | = d(A,C) \end{eqnarray*}$

Das ist übrigens noch falsch; in dem geschilderten Fall ist $\begin{eqnarray*} d(A,C)=\lVert A-P\rVert+\lVert P-C\rVert \end{eqnarray*}$ .

23.02.2013, 15:53

Domi91

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Jo. Ist mir auch aufgefallen Augenzwinkern

da hab ich zu weit gerechnet!

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