Polynom dritten Grades irreduzibel oder zerfällt ganz

22.02.2013, 15:23	nore	Auf diesen Beitrag antworten »
Polynom dritten Grades irreduzibel oder zerfällt ganz Hi, ich soll zeigen, dass das Polynom $\begin{eqnarray} f(X) = X^3-3X+1 \end{eqnarray}$ über jedem Körper entweder irreduzibel ist oder zerfällt und als Tip steht dabei, dass ich die Wurzeln durch Formeln auseinander berechnen soll. Ich habe deshalb erstmal die Cardanoschen Formeln benutzt, um die Wurzeln für Charakteristik 0 zu berechnen: $\begin{eqnarray} x_1 = \sqrt[3]{-\frac{1}{2}+\frac{i\sqrt{3}}{2}} + \sqrt[3]{-\frac{1}{2}-\frac{i\sqrt{3}}{2}} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} x_2 = e^{\frac{4\pi i}{3}}\sqrt[3]{-\frac{1}{2}+\frac{i\sqrt{3}}{2}} + e^{\frac{2\pi i}{3}}\sqrt[3]{-\frac{1}{2}-\frac{i\sqrt{3}}{2}} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} x_3 = e^{\frac{2\pi i}{3}}\sqrt[3]{-\frac{1}{2}+\frac{i\sqrt{3}}{2}} + e^{\frac{4\pi i}{3}}\sqrt[3]{-\frac{1}{2}-\frac{i\sqrt{3}}{2}} \end{eqnarray}$ Leider fällt mir auch nach mehrmaligem Hingucken nicht ins Auge, wie sich auseinander berechnen lassen. Ich hatte gehofft, hier einen Zusammenhang zu finden, den ich dann allgemein zeigen kann. Und damit könnte ich dann vermutlich zeigen, wenn eine der Nullstellen in einem Körper liegt, dann tun es auch die anderen beiden. Mir fehlt nur leider die entscheidende Idee: Wie bekomme ich raus, wie ich eine der Wurzeln aus den anderen berechnen kann? Vielen Dank im Vorraus, David
22.02.2013, 15:43	tmo	Auf diesen Beitrag antworten »
In dem anderen Thread hast du von der Diskriminante gesprochen. Damit kannst du hier auch arbeiten. (Zeige zunächst, dass $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ in jedem Körper separabel ist, auch wenn es evtl. reduzibel ist). Edit: Hab mich etwas vertan. In Charakteristik 3 ist $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ natürlich nicht separabel. Aber da zerfällt es sowieso in $\begin{eqnarray} (x+1)^3 \end{eqnarray}$ , also können wir den Fall schonmal abhaken. Der Weg weicht aber stark von dem Tipp in der Aufgabenstellung ab. Da ist eher sowas gemeint: Man versucht einen rationalen Ausdruck $\begin{eqnarray} x \mapsto r(x) \end{eqnarray}$ zu finden, der Nullstellen von f wieder auf Nullstellen schickt. $\begin{eqnarray} x \mapsto \frac{x}{x - 1} \end{eqnarray}$ oder $\begin{eqnarray} \frac{x \pm 1}{x} \end{eqnarray}$ wären gute Kandidaten. Warum? Weil im Nenner ja nicht 0 stehen soll, wenn man für x eine Nullstelle einsetzt. Und $\begin{eqnarray} 1 \end{eqnarray}$ sowie $\begin{eqnarray} 0 \end{eqnarray}$ sind in keiner Charakterstik Nullstellen von $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ . Daher bietet sich $\begin{eqnarray} x - 1 \end{eqnarray}$ oder $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ im Nenner an. Ich würde allerdings den ersten Weg bevorzugen, Kommt mir weniger wie raten vor
24.02.2013, 12:48	nore	Auf diesen Beitrag antworten »
Hiho, angenommen $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ hat in einem Erweiterungskörper eine doppelte Nullstelle: $\begin{eqnarray} f=(x-a)^2(x-b)=x^3-(2a+b)x^2+(2ab+a^2)x-a^2b \end{eqnarray}$ . Koeffizientenvergleich ergibt: $\begin{eqnarray} 2a+b=0 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} 2ab+a^2=-3 \end{eqnarray}$ . Einsetzen ergibt $\begin{eqnarray} 3a^2=3 \end{eqnarray}$ . Für Charakteristik 3 hast du ja schon gezeigt, dass $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ in 3 gleiche Faktoren zerfällt und sonst folgt $\begin{eqnarray} a=\pm 1 \end{eqnarray}$ , aber das sind keine Nullstellen, egal in welchem Körper. Also gibt es einen Widerspruch. Die Diskriminante beträgt $\begin{eqnarray} 81 \end{eqnarray}$ , die Quadratwurzel davon, $\begin{eqnarray} 9 \end{eqnarray}$ . Jetzt werde ich unsicher,weil folgendes ja eigentlich nur für irreduzible Polynome gilt: $\begin{eqnarray} 9 \end{eqnarray}$ ist in jedem Körper enthalten, also ist die Galoisgruppe von $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ eine Untergruppe von $\begin{eqnarray} A_3 \end{eqnarray}$ , also selbst schon $\begin{eqnarray} A_3 \end{eqnarray}$ . Also muss der Zerfällungskörper eine Körpererweiterung vom Grad $\begin{eqnarray} 3 \end{eqnarray}$ oder $\begin{eqnarray} 1 \end{eqnarray}$ sein. Aber ich habe das Gefühl, ich drehe mich da im Kreis, weil das zunächst vorraussetzen würde, dass $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ irreduzibel ist. Zum anderen Lösungsweg. $\begin{eqnarray} x\mapsto \frac{x-1}{x} \end{eqnarray}$ funktioniert. Und damit ist die Sache klar. Aber das ist wirklich erstmal raten, oder? Theoretisch könnte diese rationale Funktion alles mögliche sein, solange der Nenner in jedem Körper nicht null wird, richtig? Viele Grüße und vielen Dank, David Edit Equester: Latexcode korrigiert und Korrekturpost gelöscht.
24.02.2013, 22:23	tmo	Auf diesen Beitrag antworten »
Zum Ansatz mit der Diskriminante: Nicht so früh aufgeben. Seien $\begin{eqnarray} a,b,c \end{eqnarray}$ die drei verschiedenen Nullstellen von $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ . Wir wissen $\begin{eqnarray} (a-b)(a-c)(b-c) = \pm 9 \in \mathbb Q \end{eqnarray}$ . Nehmen wir nun an $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ sei in $\begin{eqnarray} K[X] \end{eqnarray}$ reduzibel, zerfalle aber nicht ganz. Dann gilt also $\begin{eqnarray} a \in K \end{eqnarray}$ , aber $\begin{eqnarray} b,c \in K(b) \setminus K \end{eqnarray}$ . Es ist dann natürlich $\begin{eqnarray} Gal(K(b)/K) = \{ \operatorname{id}, \sigma \} \end{eqnarray}$ , wobei $\begin{eqnarray} \sigma: b \mapsto c \mapsto b \end{eqnarray}$ . Nun berechne mal $\begin{eqnarray} \sigma((a-b)(a-c)(b-c)) \end{eqnarray}$ auf 2 verschiedene Arten.

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