Kreisabschnitt

22.02.2013, 18:00

kv21

Kreisabschnitt

Meine Frage:
Ich brauche von einem Kreisabschnitt, die Länge der Kreissehne und den Radius des Kreises.
Vorhanden sind die Höhe des Segments und die Länge des Kreisbogens.

Meine Ideen:
Nur praktischer Ansatz.
Mit einen Stab einen Bogen formen. Die Enden so lange zusammen schieben, bis die gewonschte Höhe in der Mitte erreicht ist. Dann die Kreissehne und den Radius nachmessen. Aber wie berechnen?

23.02.2013, 21:04

Bürgi

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RE: Kreisabschnitt
Ich hoffe, dass ich jetzt einen Weg gefunden habe, Deine Frage zu beantworten.
Ich verzichte jetzt auf Hinweise, Ratschläge, Hilfestellungen etc. sondern ich rechne Dir einfach vor, was ich erreicht habe. Du müsstest dann anhand konkreter Zahlen überprüfen, ob meine Methode überhaupt brauchbare Ergebnisse liefert.

1. Mache eine aussagefähige Skizze. Gegeben sind die fett schwarz gezeichneten Stücke: Bogen b und Höhe h.

2. Nach Sehnensatz gilt:

$\begin{eqnarray*} \left(\frac12 s\right)^2=h(2r-h) \end{eqnarray*}$

3. Im rechtwinkligen Dreieck gilt:

$\begin{eqnarray*} \frac{\frac12 s}{r-h}=\tan\left(\frac{\alpha}2 \right) \end{eqnarray*}$

4. Winkel $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ im Bogenmaß:

$\begin{eqnarray*} \alpha=\frac br \end{eqnarray*}$

5. Aus #3 $\begin{eqnarray*} \frac12 s \end{eqnarray*}$ berechnen und in #2 einsetzen; den Winkel in #3 durch das Bogenmaß aus #4 ersetzen:

$\begin{eqnarray*} \left((r-h) \cdot \tan\left(\frac{b}{2r} \right)\right)^2=h(2r-h) \end{eqnarray*}$

6. Das ist eine Gleichung zur Bestimmung von r. Ich habe bei meinen Probeaufgaben das Newton-Verfahren benutzen müssen, weil ich keine geschlossene Form der Lösung finden konnte. Wenn Du also eine ganz bestimmte Aufgabe mit konkreten Zahlen hast, kannst Du probieren, ob Du das richtige Ergebnis bekommst.

7. Viel Glück!

24.02.2013, 15:33

kv21

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RE: Kreisabschnitt
Hallo Bürgi

Danke für dei rasche Antwort.
Leider kann ich den Punkt 4.
Winkel $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ im Bogenmaß:

$\begin{eqnarray*} \alpha=\frac br \end{eqnarray*}$
nicht nachvollziehen. Das geht sich irgendwie nicht aus.
Beispie: r=2, Alpha=90°
U=2r*Pi=12,566
90°=1/4tel des Umfangs =Bogenmaß=3,1415
Probe nach deiner Formel:
Alpha=b/r=3,1515/2= nicht 90

aus #3 das Halbe s kann ich auch nicht berechnen. Mir fehlr r. Kann ich dann nicht in #2 einsetzen. Auch da fehlt mir r.

Irgend wie komme ich damit leider nicht weiter.

24.02.2013, 16:07

Bürgi

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RE: Kreisabschnitt

Zitat:

Beispie: r=2, Alpha=90° U=2r*Pi=12,566 90°=1/4tel des Umfangs =Bogenmaß=3,1415 Probe nach deiner Formel: Alpha=b/r=3,1515/2= nicht 90

$\begin{eqnarray*} 12,566 : 4 = 3,1415 \end{eqnarray*}$
Dann:
$\begin{eqnarray*} 3,1415 :\underbrace{ 2 }_{r}= 1,5708 \end{eqnarray*}$

Wenn Du nicht gerundete Dezimalzahlen benutzt hättest, wäre das Ergebnis jetzt $\begin{eqnarray*} \tfrac \pi2 \end{eqnarray*}$ .
Und 90° entspricht im Bogenmaß tatsächlich $\begin{eqnarray*} \tfrac \pi2 \end{eqnarray*}$ .

Meine Berechnungen waren so angelegt, dass Du aus b und h zuerst den Radius bestimmen kannst, mit Hilfe des Radius den Mittelpunktswinkel und mit dem dann die Länge der Sehne.

Die Berechnungen von r sind nur mit numerischen Verfahren möglich (jedenfalls habe ich keine geschlossene Form finden können).

24.02.2013, 16:19

kv21

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RE: Kreisabschnitt
Also ist das Bogenmaß von sin Alpha =b/r. Nicht Alpa alleine. Dass schon.
Wie kriege ich denn bei der letzen Gleichung r auf eine Seite.
Leider ist meine Schulzeit schon länger her.

24.02.2013, 16:44

Bürgi

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RE: Kreisabschnitt
Das Bogenmaß ist ein Maß für die Größe eines Winkels. Bei Gradskala teilt man den Vollkreis in 360 gleichgroße Sektoren und nennt den Mittelpunktswinkel von einem dieser Sektoren 1°.
Beim Bogenmaß nimmt man für den Vollwinkel den Umfang des Einheitskreises, d.h. $\begin{eqnarray*} 2\pi \end{eqnarray*}$ . Durch den Quotienten $\begin{eqnarray*} \frac br \end{eqnarray*}$ wird ein beliebiger Bogen, dessen Länge ja vom Radius abhängt, auf den Einheitskreis "zurückgerechnet".

Du möchtest gern die Sinusfunktion benutzen. Das geht auch:

$\begin{eqnarray*} \left(r \cdot \sin\left(\frac{b}{2r} \right)\right)^2=h(2r-h) \end{eqnarray*}$

Forme diese Gleichung um zu:

$\begin{eqnarray*} \left(r \cdot \sin\left(\frac{b}{2r} \right)\right)^2 - h(2r-h)=0 \end{eqnarray*}$

Diese Gleichung enthält als Unbekannte nur noch r. Sie läßt sich mit Hilfe des Newton-Verfahrens lösen.

EDIT: Habe keine Zeit mehr Wink

24.02.2013, 17:07

kv21

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RE: Kreisabschnitt

Zitat:

Original von kv21
Also ist das Bogenmaß von sin Alpha =b/r. Nicht Alpa alleine. Dass schon.

Ok, sorry, mein Fehler. Das Bogenmaß von einem Winkel. Jetzt habe ich es geschnallt!

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