Taylorreihe

22.02.2013, 18:17

needhelp1

Taylorreihe

Hallo alle zusammen,

die Aufgabe:

Bestimmen sie die Taylor-Reihen $\begin{eqnarray*} f(x)=\sum\limits_{n=0}^\infty a_nx^n \end{eqnarray*}$ der folgenden Funktionen um $\begin{eqnarray*} x_0=0 \end{eqnarray*}$ . Geben sie die koeffizienten $\begin{eqnarray*} a_n \end{eqnarray*}$ explizit an:

$\begin{eqnarray*} f(x)=a^x \end{eqnarray*}$

so, habe ien wenig recherchiert und habe gefunden:

$\begin{eqnarray*} f(x)=a^x=e^{xlna} \end{eqnarray*}$

So wie ich das verstanden habe fang ich jetzt an die Funktion abzuleiten, um auf die Reihe zu kommen - Suche nach regelmäßigkeiten...

$\begin{eqnarray*} f'(x)=e^{xlna}lna \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f''(x)=e^{xlna}(lna)^2 \end{eqnarray*}$

und so weiter bis...

$\begin{eqnarray*} f^n(x)=e^{xlna}(lna)^n \end{eqnarray*}$

so - aber das ist ja noch nicht die Reihe - jetzt fehlt mir die Idee wie ich weiter mache... n' kleine Hilfe wäre prima und ich wäre sehr dankbar..

ah - vielleicht doch ... ich setze das mal in die Taylorreihe ein...

$\begin{eqnarray*} f(x)=f(x_0)+\frac{f'(x_0)}{1!} (x-x_0)+ \frac{1}{2!}f''(x_o)(x-x_0)^2 \end{eqnarray*}$ und so weiter

22.02.2013, 18:24

needhelp1

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dann habe ich...

$\begin{eqnarray*} 1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\frac{x^4}{4!}....+\frac{x^n}{n!} \end{eqnarray*}$

und nu?

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^\infty \frac{1}{n!} x^n \end{eqnarray*}$

aber irgendwie stimmt die nicht, weil ja jede Ableitung joch ein lna mitbringt.... und die 1 muss ja auch irgendwie entwickelt werden....

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^\infty \frac{lna^n}{n!} x^n \end{eqnarray*}$

22.02.2013, 18:58

Delorios

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Das letzte stimmt, das da drüber nicht ganz.

Die letzte Summe stimmt auch für n=0 (da 0!=1) und dann hast dus...

22.02.2013, 19:04

needhelp1

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okay - vielen dank..

noch eine...

$\begin{eqnarray*} f(x)=\frac{1}{2} \left(e^x-e^{-x}\right) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f'(x)=\frac{1}{2} \left(e^x+e^{-x}\right) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f''(x)=\frac{1}{2} \left(e^x-e^{-x}\right) \end{eqnarray*}$

....

$\begin{eqnarray*} f^{n}(x)=\frac{1}{2} \left(e^x+e^{-x}\right) (-1)^n \end{eqnarray*}$

x=0

d.h.
f(0)=0
f'(0)=1
f''(0)=0
f'''(0)=1
und soweiter

also

$\begin{eqnarray*} 0+x+\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}+.... \end{eqnarray*}$

wie bekomme ich das den jetzt als Summe zusammeN?

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=0}^\infty \frac{x^{2n+1}}{2n+1} \end{eqnarray*}$

durch ausprobieren bekomme ich das dann irgendwie hin - aber gibt es da nicht irgendwie einen trick? ... das ist voll das Glücksspiel gerade...

22.02.2013, 19:28

Dopap

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Zitat:

Original von needhelp1

$\begin{eqnarray*} 0+x+\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}+.... \end{eqnarray*}$

wie bekomme ich das den jetzt als Summe zusammeN?

die Ableitungen sind richtig, die allgemeine Ableitung nicht.

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=0}^\infty \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!} \end{eqnarray*}$

wäre richtig

22.02.2013, 19:34

needhelp1

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habe ich irgendwie unterschlagen...

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