Ein paar Fragen zu Funktiontheorie

23.02.2013, 00:20

Mathze

Ein paar Fragen zu Funktiontheorie

Hallo

Ich habe ein einige Fragen, die ich mit Wahr oder Falsch beantworten soll.
Bei ein Paar bin ich mir nicht sicher oder weiß es. Kann mir da jemand helfen bzw. bestätigen was richtig ist?

1)Für jede ganze Funktion f gilt: wenn f (n) = 0 für alle n , dann gilt, $\begin{eqnarray*} \lim_{|z| \to \infty } f(z) \end{eqnarray*}$ existiert und ist 0.
-Falsch: sin((z+1)*pi*2) wäre ein Gegenbeispiel. Bin mir aber nicht sicher.

2)Für jede Funktion f, die holomorph in einer Umgebung von $\begin{eqnarray*} K=\left\{ z\in \mathbb C : |z|<1\right\} \end{eqnarray*}$ , gilt $\begin{eqnarray*} \max_{K} |f|=\max_{rand K} |f|| \end{eqnarray*}$ .
Falsch: Es würde für eine Funktion gelten, die beschrängt mit $\begin{eqnarray*} f: K \to \mathbb C \end{eqnarray*}$ ist.

3) es existiert eine ganze Funktion $\begin{eqnarray*} f: \mathbb C \to \mathbb C \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} f(e^-n)=0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} f(-1)=-1 \end{eqnarray*}$
Hier weiß ich keine Antwort.

4) es existiert eine ganze Funktion $\begin{eqnarray*} f: \mathbb C \to \mathbb C \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} f(z)=i \end{eqnarray*}$ für alle z \in \mathbb R und $\begin{eqnarray*} \lim_{Im(z) \to \infty } f(z) \end{eqnarray*}$ existiert.
Da bin ich mir auch nicht sicher. Alle Funktionen, die ich mir vorstellen kann sind nicht holomorph. Aber ich weiß auch nicht wogegen das widersprechen sollte.

Wäre sehr nett, wenn sich das jemand anschauen könnte

23.02.2013, 00:28

Che Netzer

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RE: Ein paar Fragen zu Funktiontheorie
Zu 1):
Hier würde doch schon $\begin{eqnarray*} \sin(\pi z) \end{eqnarray*}$ genügen.

Zu 2):
Ich verstehe das so, dass $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ sogar auf einer größeren Scheibe holomorph sein soll.
Kommt wohl darauf an, was ihr mit der Umgebung meint.

Zu 3):
Ist das die ganze Aufgabenstellung? Was soll $\begin{eqnarray*} e^-n \end{eqnarray*}$ sein?

Zu 4):
Als "ganze Funktion" sind bei euch doch sicher auch konstante Funktionen zugelassen, oder?

23.02.2013, 00:30

Iorek

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RE: Ein paar Fragen zu Funktiontheorie

Zitat:

Original von Che Netzer
Zu 3):
Ist das die ganze Aufgabenstellung? Was soll $\begin{eqnarray*} e^-n \end{eqnarray*}$ sein?

Das dürfte wohl der offensichtliche LaTeX-Fehler $\begin{eqnarray*} e^{-n} \end{eqnarray*}$ sein.

23.02.2013, 00:31

Che Netzer

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RE: Ein paar Fragen zu Funktiontheorie
Schon, aber was ist $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ ? Soll $\begin{eqnarray*} f(\mathrm e^{-n})=0 \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} n\in\mathbb N \end{eqnarray*}$ sein? – in 1) wurde das noch explizit dazugesagt.

23.02.2013, 00:45

Mathze

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1) Da hast du absolut recht, ich war ein bischen verwirrt.

2)Ich habe es aus dem englischen übersetzt "neighbourhood" (die Vorlesung ist auf englisch). Ich habe mir da bisher noch gar keine Gedanken gemacht, sondern mir immer irgendeine Umgebung um den gegebenen Punkt bzw. Menge vorgestellt, wenn nichts genaues definiert war.

Hier noch das Original
For every function f , holomorphic in a neighbourhood of $\begin{eqnarray*} K=\left\{ z\in \mathbb C : |z|<1\right\} \end{eqnarray*}$ , we have
$\begin{eqnarray*} \max_{K} |f|=\max_{rand K} |f|| \end{eqnarray*}$ .

3)es soll $\begin{eqnarray*} e^{-n} \end{eqnarray*}$ sein und für alle $\begin{eqnarray*} n\in \mathbb N \end{eqnarray*}$ .
Entschuldigung, das habe ich übersehen.

4)Oh ja, ich bin wirklich ein Depp. Sowas sollte mir eigentlich einfallen. Danke

LG Mathze

23.02.2013, 00:49

Che Netzer

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Zu 2):
Wenn die Umgebung auch $\begin{eqnarray*} K \end{eqnarray*}$ selbst sein kann bzw. keinen positiven Abstand zu $\begin{eqnarray*} K \end{eqnarray*}$ haben muss, wäre das Maximum wohl eher ein Supremum. Davon abgesehen ist das eigentlich nur das Maximumprinzip.

Zu 3):
Dann wende doch mal den Identitätssatz an.

23.02.2013, 01:34

Mathze

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2) Also war es ein übersetzungsfehler? Also heist es nicht "einer Umgebung von", sondern eher " K mit Rand" ?
Ok, dann entspricht es dem Maximumprinzip, da f auch in $\begin{eqnarray*} \frac{}{K} \end{eqnarray*}$ holomorph ist und damit stetig.

3) Ah, also stimmt es nicht.
Und was ich gerade bemerke, dass ganze Funktionen auf der reellen Achse eindeutig sind.

Vielen vielen Dank!

23.02.2013, 01:38

Che Netzer

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Nein, "neighbourhood" heißt schon "Umgebung", aber nur wenn diese Umgebung den Abschluss von $\begin{eqnarray*} K \end{eqnarray*}$ enthält, ist sichergestellt, dass auf dem Rand ein Maximum angenommen wird.
Wobei auf $\begin{eqnarray*} K \end{eqnarray*}$ selbst aber ohnehin keins angenommen wird, also benutzt ihr vermutlich $\begin{eqnarray*} \max \end{eqnarray*}$ synonym zu $\begin{eqnarray*} \sup \end{eqnarray*}$ ...

Zitat:

Und was ich gerade bemerke, dass ganze Funktionen auf der reellen Achse eindeutig sind.

Was meinst du damit?
Wenn zwei ganze Funktionen auf $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ übereinstimmen, dann auch auf $\begin{eqnarray*} \mathbb C \end{eqnarray*}$ – oder wolltest du auf etwas anderes hinaus?

23.02.2013, 01:50

Mathze

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Zitat:

Original von Che Netzer
Was meinst du damit?
Wenn zwei ganze Funktionen auf $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ übereinstimmen, dann auch auf $\begin{eqnarray*} \mathbb C \end{eqnarray*}$ – oder wolltest du auf etwas anderes hinaus?

Ja, genau. Stimmt das oder habe ich ein Denkfehler.
Und ich gucke grade im Script, ob davon etwas drinne steht. Aber scheinbar haben wir das nicht gefolgert oder ich habe es übersehen . :/

23.02.2013, 01:51

Che Netzer

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Naja, das ist eine direkte Folgerung aus dem Identitätssatz, da $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ offenbar einen Häufungspunkt besitzt.

23.02.2013, 02:14

Mathze

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OK, das sollte wohl einfach klar sein, mir fällts jetzt erst auf Hammer

Naja, vielen Dank für die Hilfe!

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