Newtonverfahren, Regula Falsi, Bisektion: Effektivität?

23.02.2013, 12:26	AdamsMathGym	Auf diesen Beitrag antworten »
Newtonverfahren, Regula Falsi, Bisektion: Effektivität? Meine Frage: Hallo, ich hoffe jemand kann mir helfen. Es geht darum, warum das Newtonverfahren viel schneller und viel mehr Nachkommastellen von der Quadratwurzel aus 2 angeben kann (bei der Funktion f(x)=x^2-2) als die beiden anderen Verfahren. Wie kann man das erklären? Weitere Fragen: Was bedeutet eigentlich konvergieren? Warum gibt es bei manchen Funktionen beim Newtonverfahren Probleme? Wäre wirklich froh, wenn jemand eine möglichst einfach formulierte und verständliche Antwort für mich hat! Danke schonmal Meine Ideen: Habe ein Programm geschrieben, dass alle drei Verfahren ausführt und große Unterschiede in der Dauer und den Nachkommastellen entdeckt. Finde leider in keinem meiner Bücher etwas genaues über die Effektivitäten im Vergleich.
23.02.2013, 12:34	zyko	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Newtonverfahren, Regula Falsi, Bisektion: Effektivität?! Schau mal hier rein: http://de.wikipedia.org/wiki/Newton-Verfahren unter "Lokale quadratische Konvergenz". Konvergenz meint hier, dass die Folge der errechneten Näherungswerte $\begin{eqnarray} x_n \end{eqnarray}$ im Verlaufe der Iteration gegen einen festen Wert strebt. Daraus folgt, dass $\begin{eqnarray} \|x_{n+1}-x_n\| \end{eqnarray}$ gegen 0 strebt. Setzt man schließlich den Grenzwert in das NewtonVerfahren ein, erhält man erneut diesen Grenzwert.
23.02.2013, 12:39	AdamsMathGym	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Newtonverfahren, Regula Falsi, Bisektion: Effektivität?! Danke für die Antwort! Kann aber leider nichts mit dem Link anfangen, weil mir der Artikel zu komplixiert ist. Was sagt mit das im Gegensatz z.B. zur Bisektion? Was ist dort anders? Kann man das an den allgemeinen Formeln der einzelnen Verfahren ablesen? Kann man damit vielleicht einen Beweis anführen? Habe Mathe Grundkurs..
23.02.2013, 13:15	zyko	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Newtonverfahren, Regula Falsi, Bisektion: Effektivität?! Jeede Funktion, die unendlich oft differenzierbar ist, kann in der Form $\begin{eqnarray} f(x) =\sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n \end{eqnarray}$ berechnet werden. Will man nur einen endlichen Anteil bis N der Summe betrachten, so kann der Fehler abgeschätzt werden durch $\begin{eqnarray} R_N(\xi) =\frac{f^{(N+1)}(\xi)}{(N+1)!}(x-x_0)^{N+1} \end{eqnarray}$ s. a. http://de.wikipedia.org/wiki/Taylor-Formel Für Bisection s. http://en.wikipedia.org/wiki/Bisection_method unter "Analysis" steht dort die Fehlerabschätzung Ohne Hintergrundinformation, allein an Hand der Iterationsvorschrift, wird es nicht möglich sein das Konvergenzverhalten abzuschätzen. Das Konvergenzverhalten ist sowohl vom Startwert, vom eingesetzten Verfahren als auch von den Eigenschaften der Funktion abhängig. Das NewtonVerfahren ist z.B. nur quadratisch konvergent, wenn die untersuchte Funktion zweimal stetig differenzierbar ist. Falls dir die zitierten Artikel zu schwierig sind, wird es problematisch, diese Fragen zu beantworten.
23.02.2013, 13:48	AdamsMathGym	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Newtonverfahren, Regula Falsi, Bisektion: Effektivität?! Danke! Schade, wäre prima für meine Facharbeit gewesen, ist aber wohl doch zu schwierig :/

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