Integrale

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23.07.2004, 20:21

Nooby

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Integrale

Hallo ,
kann jemand das Integral wurzel aus 1-cos(x) lösen?

23.07.2004, 20:34

mathemaduenn

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Hallo nooby,
ja, z.B. der da Big Laugh

gruß
mathemaduenn

24.07.2004, 12:22

Philipp-ER

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Hi.
$\begin{eqnarray*} 1-\cos(x)=1-\cos(2\cdot \frac{x}{2}) \end{eqnarray*}$
Dafür gibt es die tolle Formel
$\begin{eqnarray*} \cos(2x)=2\cos^2(x)-1 \end{eqnarray*}$
und wenn man dann noch den trigonometrischen Pythagoras, also
$\begin{eqnarray*} \sin^2(x)+\cos^2(x)=1 \end{eqnarray*}$ verwendet, wird es mit einer Fallunterscheidung ganz einfach.

24.07.2004, 19:51

Nooby

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Integral
Hallo Phillip-ER,
danke für deine Mühe....aber ich raffe das nicht!

Kannst du mir das mal erklären?

24.07.2004, 20:09

Philipp-ER

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Also es geht darum, den Integranden zuerst so umzuformen, dass man ein relativ einfaches Integral erhält. Dafür habe ich die nötigen Umformungsschritte aufgelistet:
$\begin{eqnarray*} \sqrt{1-\cos(x)}=\sqrt{1-\cos(2\cdot\frac{x}{2})} \end{eqnarray*}$
Wendet man jetzt die von mir aufgeführte Gleichung für $\begin{eqnarray*} \cos(2x) \end{eqnarray*}$ an, erhält man:
$\begin{eqnarray*} \sqrt{1-(2\cos^2(\frac{x}{2})-1)}=\sqrt{2-2\cos^2(\frac{x}{2})} \end{eqnarray*}$
Klammere hier jetzt 2 aus.
Wie kann man dann von den mir zitierten trignometrischen Pythagoras anwenden? Wie kann man dann weiter vereinfachen? Es ist jetzt nicht mehr schwer, probiere mal ein bisschen rum.

25.07.2004, 12:40

Nooby

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Integral
Hallo Phillipp-ER,

wahrscheinlich faßt du dir jetzt an den Kopf und bemitleidest mich für meine Dummheit :P aber nachdem ich die 2 ausgeklammert habe und ein paar mal die 1 gegen den trig. Pyth. ausgetauscht habe komme ich auf folgendes Integral:

$\begin{eqnarray*} \int-2*\sqrt[2]{1-cos(x)} *cot(\frac{x}{2}) \end{eqnarray*}$

Das scheint mir aber sehr falsch zu sein, da ich ja immernoch den Wurzelausdruck habe, den es eigentlich zu vereinfachen gilt. Außerdem ist das Integral jetzt schwerer als vorher.

25.07.2004, 13:05

BraiNFrosT

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Zitat:

Original von Philipp-ER
$\begin{eqnarray*} =\sqrt{2-2\cos^2(\frac{x}{2})} \end{eqnarray*}$
Klammere hier jetzt 2 aus.

Das sähe dann so aus :

$\begin{eqnarray*} =\sqrt{2(1-\cos^2(\frac{x}{2}))} \end{eqnarray*}$

Der trigonometrische Pythagoras lautet

sin²(x) + cos²(x) = 1

also sin²(x) = 1 - cos²(x)

Nun setz das mal ein. Poste am besten deine Zwischenschritte mit,
dann sieht man schneller wo du etwas falsch gemacht hast.

Viele Grüße
Brainfrost

26.07.2004, 11:04

Nooby

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Integral
Hallo Brainfrost,

ich hab nun folgendes gerechnet:

$\begin{eqnarray*} \int\sqrt{2(1-cos^{2}(\frac{x}{2})}) =\int\sqrt{2 sin^{2}(\frac{x}{2})}= \sqrt{2} \int sin(\frac{x}{2})= - \sqrt{2} cos(\frac{x}{2}) \end{eqnarray*}$

Das Ergebnis scheint mir plausibel zu sein. Hmmmm.....mal sehen was du dazu sagst Gott

26.07.2004, 11:30

BraiNFrosT

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RE: Integral
Das sieht schon gut aus. Allerdings musst du noch dem Argument x/2
etwas mehr Beachtung schenken. Abgeleitet = 1/2
Also muss da noch eine 2 auftauchen damit sich das insgesamt wieder
aufhebt.

Also
$\begin{eqnarray*} -2\sqrt{2} cos(\frac{x}{2}) \end{eqnarray*}$

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