Integral sin^(2n)(x)

23.02.2013, 19:56	Bakatan	Auf diesen Beitrag antworten »
Integral sin^(2n)(x) Irgendwo ist ein Fehler, das Ergebnis kann nicht sein $\begin{eqnarray} \int_0^{2\pi}\sin^{2n}(x)dx=\int_0^{2\pi}\left(\frac{e^{ix}-e^{-ix}}{2i}\right)^{2n}dx=\frac{1}{(-4)^n}\int_0^{2\pi}\left(e^{ix}-e^{-ix}\right)^{2n}dx= \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \frac{1}{(-4)^n}\int_0^{2\pi}\sum_{k=0}^{2n}\binom{2n}{k}(e^{ix})^k(-e^{-ix})^{2n-k}dx=\frac{1}{(-4)^n}\int_0^{2\pi}\sum_{k=0}^{2n}\binom{2n}{k}e^{ikx}(-1)^{2n-k}e^{-ix(2n-k)}dx= \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \frac{1}{(-4)^n}\sum_{k=0}^{2n}\binom{2n}{k}(-1)^{2n-k}\int_0^{2\pi}e^{ikx}e^{-ix(2n-k)}dx=\frac{1}{(-4)^n}\sum_{k=0}^{2n}\binom{2n}{k}(-1)^{2n-k}\int_0^{2\pi}e^{x\cdot 2i(k-n)}dx \end{eqnarray}$ Nun ist allerdings $\begin{eqnarray} \int_0^{2\pi}e^{x\cdot 2i(k-n)}dx=\left[\frac{e^{x\cdot 2i(k-n)}}{2i(k-n)}\right]_0^{2\pi}=\frac{1}{2i(k-n)}\cdot\left(e^{2\pi\cdot 2i(k-n)}-e^{0\cdot 2i(k-n)}\right)=0 \end{eqnarray}$ PS: Ich hatte kurzzeitig das Gefühl ich hätte irgendetwas mit den Potenzgesetzen vermasselt, aber für ganzzahlige Exponenten sollte es eigentlich passen...
23.02.2013, 20:38	Mystic	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Integral sin^(2n)(x) Ich sage nur :Perfekt! Zum Schluss hast allerdings einen argen Gedankenfehler drin, denn die letzte Zeile ist ja auf den Fall k=n nicht anwendbar!
23.02.2013, 20:50	Bakatan	Auf diesen Beitrag antworten »
Ouch! Klar, da ist das Problem. So dumme Lücken War eine der 2/7 Klausuraufgaben heute bei denen ich irgendwie nicht zu Ende gekommen bin. War so weit wie beschrieben und konnte weder einen Fehler in der Rechnung finden noch wieso nicht alles Null wird. Die Aufgabe war zu zeigen, dass am Ende $\begin{eqnarray} \binom{2n}{n}\frac{2\pi}{4^n} \end{eqnarray}$ (soweit ich mich erinnere) heraus kommt, was dann ja offensichtlich ist.

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