Sattelpunkt von f(x,y)

23.02.2013, 20:40

Ingi

Sattelpunkt von f(x,y)

Meine Frage:
Ich komme gerade bei folgender Aufgabe nicht weiter:

$\begin{eqnarray*} f(x,y)=\alpha - \lambda *(x^2+y^2) \end{eqnarray*}$
man soll überprüfen ob f(x,y) einen Sattelpunkt besitzt egal wie $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ gewählt sind

Meine Ideen:
Also ich hab erst mal

1. Ableitungen gebildet:
$\begin{eqnarray*} fx=-2\lambda x \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} fy=-2\lambda y \end{eqnarray*}$

und dann die 2. Ableitungen
$\begin{eqnarray*} fxx=-2\lambda \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} fyy=-2\lambda \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} fxy=0 \end{eqnarray*}$

Daraus lässt sich ja schon erkennen die 1. Ableitungen werden null bei E(0;0). Also ist dort ein Extremum. Nur wie weiß ich ob es ein Sattelpunkt ist ? Und wie beweise ich dass es egal ist wie lambda und alpha gewählt werden ? was z.B. wenn sie beide =0 sind ?

23.02.2013, 21:13

Dopap

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bevor man jetzt den ganzen Formalismus mit Hessematrix und Definitheit anwendet, könnte man auch einfache Überlegungen anstellen.

1.) $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ ist eine Konstante und unbedeutend.

2.) $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ ist nur ein Streckungsfaktor ziemlich unbedeutend.

3.) ist $\begin{eqnarray*} \lambda \neq 0 \end{eqnarray*}$ dann liegt ein Extremum in E(0,0) vor, da wegen der Quadrate...

4.) ist $\begin{eqnarray*} \lambda =0 \end{eqnarray*}$ dann haben wir eine Ebene $\begin{eqnarray*} z=\alpha. \end{eqnarray*}$

ob die einen Sattelpunkt hat verwirrt

23.02.2013, 21:22

Ingi

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ja stimmt

wenn lampda=0 dann bleibt nur eine ebene zurück eigentlich logisch Hammer

Aber wie erfahre ich ob in E(0,0) ein Sattelpunkt ist ? und kein Maximum oder Minimum

23.02.2013, 21:25

Dopap

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du musst auch lesen:

wenn $\begin{eqnarray*} \lambda \neq 0 \end{eqnarray*}$ dann ist der einzig kritische Punkt ein Extremum.

Für Sattelpunkt ist da kein Platz mehr.

23.02.2013, 21:34

Ingi

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Versteh ich nicht !

Ich hab mir das analog zu Funktionen mit einer Variabeln überlegt.
Wenn man die 1. Ableitung=0 setzt dann erhält man einen x-Wert
aber dann muss man ja noch überprüfen ob es sich um ein Sattelpunkt handelt in dem man die 2. Ableitung=0 setzt

Also könnte unser Extremum(0,0) doch ein Sattelpunkt sein ? oder nicht ?

23.02.2013, 21:39

Dopap

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Zitat:

Original von Ingi

... Also könnte unser Extremum(0,0) doch ein Sattelpunkt sein ? oder nicht ?

nein, das geht nicht.

23.02.2013, 21:42

Ingi

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warum nicht ? ist bei funktionen von einer variabeln doch auch so

23.02.2013, 21:54

Dopap

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also:

wir haben das Extremum hochwertig hergeleitet, ohne Gradient etc.

in jeder $\begin{eqnarray*} \epsilon \end{eqnarray*}$ -Umgebung von $\begin{eqnarray*} (0,0) \end{eqnarray*}$ ist der Funktionswert kleiner / grösser als der Funktionswert $\begin{eqnarray*} f(0,0) \end{eqnarray*}$

damit ist das Extremum elementar gezeigt.

Weitere Überlegungen sind unnötig.

23.02.2013, 21:57

Ingi

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wenn in der Umgebung von (0,0) jeder Funktionwert größer oder kleiner ist als f(0,0) dann haben wir an der stelle doch einen Sattelpunkt ?

23.02.2013, 22:03

Dopap

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nicht kleiner oder grösser in einem Fall sondern:

1.) $\begin{eqnarray*} \lambda > 0 \quad \Rightarrow \end{eqnarray*}$ Maximum

1.) $\begin{eqnarray*} \lambda < 0 \quad \Rightarrow \end{eqnarray*}$ Minimum

23.02.2013, 22:13

Ingi

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ahhhhhh okay jetzt hats klick gemacht
vielen vielen dank dafür Freude

23.02.2013, 22:22

Dopap

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genau um den Klick geht es ja Wink

23.02.2013, 22:28

Mystic

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Naja, aber umso viel komplizierter ist ja der "Standardweg" mit der Hessematrix

$\begin{eqnarray*} H=\begin{pmatrix} -2\lambda &0\\0 &-2\lambda \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

auch wieder nicht, denn es ist ja

$\begin{eqnarray*} |H|=4\lambda^2 \end{eqnarray*}$

und daher H für für $\begin{eqnarray*} \lambda \ne 0 \end{eqnarray*}$ jedenfalls definit, und zwar genauer negativ definit (-> Max.) für $\begin{eqnarray*} \lambda >0 \end{eqnarray*}$ und positiv definit (-> Min.) für $\begin{eqnarray*} \lambda <0 \end{eqnarray*}$ ...

23.02.2013, 23:36

RavenOnJ

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Zitat:

Original von Ingi

Ich hab mir das analog zu Funktionen mit einer Variabeln überlegt.
Wenn man die 1. Ableitung=0 setzt dann erhält man einen x-Wert
aber dann muss man ja noch überprüfen ob es sich um ein Sattelpunkt handelt in dem man die 2. Ableitung=0 setzt

Also könnte unser Extremum(0,0) doch ein Sattelpunkt sein ? oder nicht ?

Es ist ein Irrtum, dass im 1-dimensionalen Fall 2. Ableitung= 0 Sattelpunkt bedeutet. es kommt darauf an wleche von den ersten n Ableitungen als erstes ungleich 0 ist. Ist das n ungerade, dann liegt ein Sattelpunkt vor. Ist das n gerade, dann ein Extremum. Es können beispielsweise die ersten 10 Ableitungen =0 sein und erst die 11. ungleich 0, wie bei $\begin{eqnarray*} f(x) := x^{11} \end{eqnarray*}$ . Dann liegt ein Sattelpunkt vor. Wenn nur die ersten 9 Ableitungen = 0 und die 10. ungleich 0, wie beispielsweise bei $\begin{eqnarray*} f(x) := x^{10} \end{eqnarray*}$ , dann ist an der Stelle ein Extremum.

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