Lineare Beschränktheit von e^15t*cos(t)

24.02.2013, 12:14

Stefan03

Lineare Beschränktheit von e^15t*cos(t)

Hi,

ich soll zeigen, dass die Lsg. der DGL

$\begin{eqnarray*} x'(t)=e^{15t}\cdot \cos(t) \end{eqnarray*}$ eine auf ganz $\begin{eqnarray*} \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ def. Lsg. besitzt und dazu würde ich zeigen, dass die rechte Seite lin. beschränkt ist.
Meine Frage: Reicht es nicht, wenn ich einfach sage, dass $\begin{eqnarray*} |\cos(t)|\le 1 \forall t \in \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ .

Bei einer anderen Aufgabe sind wir in etwa so vorgegangen:
Da $\begin{eqnarray*} |\cos(t)|\le 1 \forall t \in \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ , gilt insbesondere $\begin{eqnarray*} |\cos(t)|\le 1 \forall t \in[0, 2\pi] \end{eqnarray*}$ . In einem kompakten Intervall nimmt jede stetige. Fkt. ihr Min. bzw. Max an, d.h. es gibt ein $\begin{eqnarray*} t_0 \in{[0, 2\pi]} \text{ mit } c:=\cos(t_0)=max \{\cos (t): t \in [0, 2\pi]\} \end{eqnarray*}$ , also $\begin{eqnarray*} e^{15t} \cos (t)\le e^{15t_0}\cos(t_o)=e^{15t_0} \cdot c \end{eqnarray*}$ , da e streng monoton steigend.

Kann ich so argumentieren?

24.02.2013, 12:22

Che Netzer

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RE: Lineare Beschränktheit von e^15t*cos(t)

Zitat:

Original von Stefan03
ich soll zeigen, dass die Lsg. der DGL $\begin{eqnarray*} b \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x'(t)=e^{15t}\cdot \cos(t) \end{eqnarray*}$ eine auf ganz $\begin{eqnarray*} \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ def. Lsg. besitzt

Schonmal was von einer Stammfunktion gehört? Augenzwinkern

Das mit der Beschränktheit dürfte so nicht funktionieren.
Der Cosinus ist zwar beschränkt, die Exponentialfunktion auf ganz $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ aber keineswegs.

24.02.2013, 12:27

Stefan03

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Hi,

ja, schonmal gehört smile

Das schaut mich nach 2-maliger partieller Integration aus und dann wird wohl die Stammfkt. auf ganz R def sein und ich bin fertig, oder?

24.02.2013, 12:28

Che Netzer

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Du musst das Gebilde ja gar nicht integrieren. Es reicht schon die Feststellung, dass eine Stammfunktion (auf ganz $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ ) existiert.

24.02.2013, 12:33

Stefan03

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OK, das ist ja noch besser smile

Der Integrand ist ja auch ganz R stetig, also existiert auch auf ganz R ein Stammfkt. und somit eine Lsg. der DGL.

24.02.2013, 12:35

Che Netzer

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Ja, genau. Das war's auch schon smile

27.02.2013, 14:12

Stefan03

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Hi,

ich hab mir wohl die Lsg. etwas zu einfach gemacht, weil die eigentliche DGL wie folgt lautet:

$\begin{eqnarray*} x'(t)=e^{15t}\cos (x(t)) \end{eqnarray*}$

Hier funktioniert das Argument, dass der Integrant auf ganz R def. nicht mehr so ohne weiteres, oder? Weil es kann ja sein, dass mein $\begin{eqnarray*} x(t) \end{eqnarray*}$ im cos (x(t)) nicht für alle t definiert ist, oder?

Ich würde es dann damit lösen, dass sich Graphen max. Lsg. nicht schneiden können und ich kenn ja stationäre Lsg. wegen der NS vom cos.

27.02.2013, 14:16

Che Netzer

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Zitat:

Original von Stefan03
und ich kenn ja stationäre Lsg. wegen der NS vom cos.

Ja, die Angabe von $\begin{eqnarray*} x(t)\equiv\frac\pi2 \end{eqnarray*}$ macht die Aufgabe sogar fast noch einfacher.

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