gebrochen rationale Funktion 2 Fragen

24.02.2013, 13:01

SgtHater

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gebrochen rationale Funktion 2 Fragen

Meine Frage:
Ich hab da mal 2 Fragen...

Als erstes hatte ich mich gefragt wie das mit der Vielfachheit der Nullstellen ist. Als wenn im Zähler z.B. x^2 +5 steht sind doch die Nullstellen +5 und -5 oder ? also berührt der Graph die x achse doch nur bei + und - 5 oder verstehe ich da etwas falsch? und wie erkenne ich dann eine vielfachheit allgemein ich check das garnet

und kann mal jmd das mit den verhalten gegen unendlich bei polstellen erklären? Und was hat das mit dem Limes auf sich?weil bei nullstellen gibt es das ja garnicht oder ?

Meine Ideen:
Wie oben schon einmal gesagt dachte ich ja halt das es dann zwei Nullstellen gibt jeweils bei + und - 5 da es ja ein x^2 gibt. und ich hatte in Erinnerung das, dass eine doppelte Nullstelle ist mit der Zahl jeweils im + und - bereich.

Beim verhalten gegen unendlich bin ehrlich überfragt.. ich hatte das mal ganz früher aber alles wieder weg. Mein Gedankengang war das dies nur bei Polstellen möglich sei da Nullstellen ja nicht plötzlich irgendwo hinverschwinden oder explodieren sagt man oder ? naja und wenn man eine Polstelle bei sagen wir +2 hat da die Nennerfunktion z.B. x-2 ist. +2 liegt ja dann nicht mehr im Definitionsbereich und es entsteht somit eine Definitionslücke also eine Polstelle oder? und das Verhalten gegen Unendlich untersucht man dann doch mit Werten dann links und rechts von dieser +2 oder ? Also wenn ich das Verhalten gegen -unendlich untersuchen möchte füge ich doch sehr kleine negative zahlen in die nennerFunktion ein oder ? also z.B. -1000 - 2 oder liege ich da falsch? da kommt ja dann -1002 raus und das heißt ja dann das die Funktion je weiter man nach links geht immerweiter nach unten geht also negativ bleibt. und wenn bei rechts. ist das dann doch so das +1000 - 2 sind 998 heißt aber trotzdem das die Funktion weiterhin im positiven Bereich bleibt.. oder mache ich da irgendwas komplett falsch...

Sry für den langen Text aber ich will das endlich mal verstehen.

Mfg Hater

24.02.2013, 13:27

Equester

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Ich befürchte du bringst hier gerade einiges durcheinander.

1)

Zitat:

x^2 +5 steht sind doch die Nullstellen +5 und -5 oder ? also berührt der Graph die x achse doch nur bei + und - 5 oder verstehe ich da etwas falsch?

Das passt leider gar nicht...x²+5 hat überhaupt keine (reellen) Nullstellen.
Gehen wir aber mal davon aus, dass du von x²-25 sprichst. Dann sind die Nullstellen in der Tat x1=5 und x2=-5. Diese berühren die x-Achse aber nicht, sondern sie schneiden eben diese!
Das hängt mit ihrer ungeraden Vielfachheit zusammen!
Wie oft kommt die Nullstelle x1=5, bzw. x2=-5 vor? Jeweils einmal.
Oft wird dafür der Zähler in seine Linearfaktoren zerlegt. Die Vielfachheit leitet sich dann von der Anzahl der gleichen Linearfaktoren ab.

$\begin{eqnarray*} x²-25=(x+5)^1(x-5)^1 \end{eqnarray*}$

An der Potenz kannst du die Vielfachheit dann letztlich ablesen.

Du hast da aber auch was richtig im Hinterkopf behalten -> An der Vielfachheit kann man ablesen, ob der Graph die Nullstelle berührt oder schneidet. Ist die Vielfachheit (also die Potenz des Faktors) gerade, dann wird die Nullstelle berührt. Das ist für (x-5)² der Fall.

2) Auch hier bringst du gewaltig was durcheinander.
Wenn man vom "Verhalten im Unendlichen" spricht, spricht man meist von $\begin{eqnarray*} \lim_{x\to\pm\infty} f(x) \end{eqnarray*}$ .
Das hat aber nichts mit der Untersuchung einer Polstelle zu tun. In der Tat haben wir hier es mit einer Nennernullstelle zu tun...eine Nullstelle die im Zähler aber nicht auftaucht (sonst hätten wir den Sonderfall der hebbaren Definitionslücke).

Zumeist wird bei der Untersuchung der Polstelle die h-Methode verwendet.

Kennst du diese Methode?
Ansonsten würde ich vorschlagen, dass du dich in der Literatur/Internet diesbezüglich informierst und wir kommen bei Fragen nochmals darauf zurück.
Schon dieser kleine Einblick kostet schon viele Zeilen, was es aber schon zu genüge im Internet zu finden gibt Augenzwinkern

Augenzwinkern

.

24.02.2013, 13:44

SgtHater

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Also zu 1)
Leuchtet ein das mit den 25.. mieser denkfehler..
Okay das soweit verstanden. Jetzt fällt mir auch ein das man den Zähler in diese linearfaktoren zerlegen kann.. nennt man das auch nicht faktorisieren ?

Ein kleines Beispiel zu versicherung. man hat die Zählerfunktion
$\begin{eqnarray*} x^2 - 64 \end{eqnarray*}$
zerlegt man diese in die lienarfaktoren kommt doch
$\begin{eqnarray*} x^2 -64 = (x-8)^1 (x+8)^1 \end{eqnarray*}$
da dies ja der ursprungsterm ist.

somit schneidet der Graph die x achse bei - und + 8 oder ?

und ein anderes

wäre die Funktion
$\begin{eqnarray*} x^2 + 64 \end{eqnarray*}$
dann wäre die linearfunktion doch
$\begin{eqnarray*} x^2 + 64 = (x+8)^1 (x+8)^1 \end{eqnarray*}$

dann hätte man doch zweimal $\begin{eqnarray*} (x+8)^1 \end{eqnarray*}$ und er würde nur die x-Achse bei +8 berühren oder ?

zu 2)
ich werde mir mal die h-Methode anschauen und mich dann wieder melden.
aber hat der limes eine bestimmte funktion oder dient er nur dazu um deutlich zu machen das man x gege unendlich streben lässt.

PS: LaTex runtergeladen und benutzt hoffe es hilft.. smile

smile

24.02.2013, 14:03

Equester

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$\begin{eqnarray*} x^2 + 64 = (x+8)^1 (x+8)^1 \end{eqnarray*}$

Das stimmt so nicht. Man bedenke die binomische Formeln! (Klammere rechts mal aus)
Der Gedanke dahinter ist dennoch richtig.

Zitat:

dann hätte man doch zweimal $\begin{eqnarray*} (x+8)^1 \end{eqnarray*}$ und er würde nur die x-Achse bei +8 berühren oder ?

Wobei zusätzlich noch der Fehler ist, dass wir für (x+8)², die x-Achse nicht an x=8, sondern x=-8 berühren!

Zitat:

Okay das soweit verstanden. Jetzt fällt mir auch ein das man den Zähler in diese linearfaktoren zerlegen kann.. nennt man das auch nicht faktorisieren ?

"linearfaktorisieren" ist halt präziser, da man nicht irgendwie faktorisiert. Aber sonst ja.

Zitat:

oder dient er nur dazu um deutlich zu machen das man x gege unendlich streben lässt.

So ist es.

Ok, dann schau dir das mal an und melde dich wieder. Dann können wir auf deinem aufgefrischten Grundwissen aufbauen Augenzwinkern

Augenzwinkern

.

24.02.2013, 14:12

SgtHater

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Zitat:

Das stimmt so nicht. Man bedenke die binomische Formeln! (Klammere rechts mal aus) Der Gedanke dahinter ist dennoch richtig.

bin ich jetzt blöd oder was ?? Big Laugh

Big Laugh

$\begin{eqnarray*} (x+8)^1 \end{eqnarray*}$ ausgeklammer ergibt doch $\begin{eqnarray*} x+8 \end{eqnarray*}$ oder nicht da man ja eig die klammern weglassen könnte..

Zitat:

Wobei zusätzlich noch der Fehler ist, dass wir für (x+8)², die x-Achse nicht an x=8, sondern x=-8 berühren !

das versteh ich jetzt nicht wieso -8 ... sry unglücklich

unglücklich

24.02.2013, 14:14

Equester

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Zu ersterem:
Mein Fehler...ich meinte "multipliziere mal aus" Augenzwinkern

Augenzwinkern

. Du wirst feststellen, dass $\begin{eqnarray*} (x+8)(x+8)\neq x²+64 \end{eqnarray*}$ .

Zu letzterem: Machen wir mal eine Überlegung...was muss x sein, damit (x+8)² Null ergibt?
Also f(x)=(x+8)²=0 um die Nullstelle zu finden. Wirklich x=8? Oder doch eher x=-8 Augenzwinkern

Augenzwinkern

.

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24.02.2013, 14:19

SgtHater

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OPS schon wieder son gravierenden Denkfehler ....
Prügel mich schon seit 3 tagen und Nächten durch das Thema da wird man leicht wahnsinnig..

Aber okay dann hab ich das mit den Nullstellen jetzt zumindest verstanden Freude

Freude

Nur eine kleine Frage noch zu diesem teilabschnitt .. gibt es einen Unterschied beim VZW zwischen: von - nach + und von + nach - ?
hab da son bild gesehen...

http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/b/be/Vorzeichenwechsel.svg
und wenn ja wie erkennt man das ?

24.02.2013, 14:21

SgtHater

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Zitat:

Mein Fehler...ich meinte "multipliziere mal aus" . Du wirst feststellen, dass .

das doch ne binomische Formel oder nicht?

kommt da dann nicht $\begin{eqnarray*} x^2 + 8x + 64 \end{eqnarray*}$ herraus?

24.02.2013, 14:37

Equester

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Zum VZW: Das spielt hauptsächlich bei Ableitungen eine Rolle.
Man kann damit untersuchen ob, bzw. welches Extremum vorliegt. Ein Hoch- oder Tiefpunkt je nachdem wie der Wechsel stattfindet.
Das hat aber nichts mit der "normalen" Nullstelle eine Funktion zu tun und ist ein leicht anderes Kapitel.

(x+8)(x+8)=(x+8)²=...
ist in der Tat die erste binomische Formel. Nur hast du sie immernoch falsch aufgelöst.
Entweder den Binomi direkt anwenden oder Schritt für Schritt ausmultiplizieren.

24.02.2013, 14:42

SgtHater

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Nun habe ich ja vollkommen bewiesen das ich ne mathematische Krücke bin haha
ist höchstwahrscheinlich wieder nur son blöder Denkfehler...

(x+8)(x+8) ist doch x mal x + x mal 8 + 8 mal 8 ...
oder nicht ?

Edit: ist es nicht $\begin{eqnarray*} x^2 + 16x + 64 \end{eqnarray*}$ da man ja 2 mal 8x hat ..

24.02.2013, 14:43

Equester

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Zitat:

Original von SgtHater
Edit: ist es nicht $\begin{eqnarray*} x^2 + 16x + 64 \end{eqnarray*}$ da man ja 2 mal 8x hat ..

Das ist es Augenzwinkern

Augenzwinkern

. Und so verlangt es auch die erste binomische Formel.

24.02.2013, 15:13

SgtHater

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Zitat:

$\begin{eqnarray*} x^2 - 25 = (x-5)^1 (x+5)^1 \end{eqnarray*}$

ich habs mir nochmal durchgelesen und bin etwas stutzig geworden...
ist das was man hinterm = hat nicht $\begin{eqnarray*} x^2 +10x - 25 \end{eqnarray*}$
das ist da dann ungleich $\begin{eqnarray*} x^2 - 25 \end{eqnarray*}$ ... kannst du das nochmal erklären?

EDIT: die Nullstellen sind ja bei diesem Beispiel + und - 5 da ja durch diese beiden zahlen die Funktion gleich Null wird als bei +5 der erste teil und bei -5 der zweite..

24.02.2013, 15:18

Equester

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Das ist die dritte binomische Formel.
Das passt also so,

erklären kannst du dir das hingegen sehr leicht selbst. Multipliziere die rechte Seite aus smile

smile

.

Edit:
Dein Edit passt.

24.02.2013, 15:24

SgtHater

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ups stimmt die 10x lösen sich ja auf da ja -5x +5x .... ich trottel..

24.02.2013, 15:25

Equester

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Zum ersten Teilsatz: So ist es Augenzwinkern

Augenzwinkern

.

24.02.2013, 15:27

SgtHater

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und zum zweiten ? :O ich blamier mich ja gerade hier nach strich und faden ...

24.02.2013, 15:32

Equester

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Jeder verhaspelt sich mal. Deswegen steht es mir nicht zu eine Aussage zu treffen Big Laugh

Big Laugh

.

Zudem hast du die meisten Fehler ja dann letztlich selbst verbessert/erkannt. Was kann man mehr erwarten?

24.02.2013, 15:42

SgtHater

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Wenn man das heutzutage verhaspeln nennt.. xD
nun gut.. ich hoffe ich kann hier weiter hin bei aufkiommenden Fragen drunterposten.. muss man ja nicht immer gleich ein neuen thread erstellen ...
ich wette da kommen noch fragen zu defintionslücke mit diesem hebbaren kram und asymptoten..

24.02.2013, 15:45

Equester

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Neue Frage neuer Thread bitte, damits übersichtlich bleibt.

Hast du weitere Fragen zu diesem Thema, kannst du natürlich hier fragen Augenzwinkern

Augenzwinkern

.

24.02.2013, 15:46

SgtHater

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okay verstanden !! smile

smile

24.02.2013, 16:47

SgtHater

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die $\begin{eqnarray*} (x-4)^2 \end{eqnarray*}$ ist doch schon lienarfaktorisiert.. aber mir fällt keine zählerfunktion dazu ein außer $\begin{eqnarray*} x^2 -16 \end{eqnarray*}$ aber ist das nicht sowie so unwahrscheinlich das es 2 mal x- etwas gibt ?

24.02.2013, 16:52

Equester

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Zitat:

die $\begin{eqnarray*} (x-4)^2 \end{eqnarray*}$ ist doch schon lienarfaktorisiert

Der ein oder andere mag motzen, dass es sich um keinen linearen Faktor handelt, da wir ja den Grad 2 haben. Aber prinzipiell (und ich sehe es auch so), ja, ist richtig.

Zitat:

aber mir fällt keine zählerfunktion dazu ein außer $\begin{eqnarray*} x^2 -16 \end{eqnarray*}$

Ich befürchte im Folgenden kann ich dir nicht folgen. Was meinst du mit "Zählerfunktion"?
Wenn du darauf anspielst, dass (x-4)²=x²-16 sein soll, muss ich dich erneut auf die binomischen Formeln verweisen Augenzwinkern

Augenzwinkern

.
Die Gleichung passt so nicht. Links verlangt den zweiten Binomi, während rechts der dritte Binomi angesprochen wird.

Zitat:

aber ist das nicht sowie so unwahrscheinlich das es 2 mal x- etwas gibt ?

Da steige ich ganz aus. Was meinst du? Es gibt sehr wohl Funktionen, die die Gestalt (x-4)^10 haben etc.

24.02.2013, 16:58

SgtHater

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okay ich versuche es nochmal..
mit mir fällt keine zählerfunktion ein meinte ich das wie beim ersten bsp.
die zählerfunktions $\begin{eqnarray*} x^2 -25 \end{eqnarray*}$ und der linearkram da $\begin{eqnarray*} (x-5)(x+5) \end{eqnarray*}$ und hier ist ja $\begin{eqnarray*} (x-4)^2 \end{eqnarray*}$ der linearkram und mir fällt keine zählerfuntion dazu ein..
und mit 2 mal x- etwas. meinte ich
bsp. bei $\begin{eqnarray*} x^2 + 25 \end{eqnarray*}$ sind die linearfaktoren $\begin{eqnarray*} (x+5) ^2 \end{eqnarray*}$ aber wie kann etwas mit einem - in der klammer vorkommen da ja - mal - + ergibt.. aber eine zählerfunktion mit + auch nur + in den linearfaktoren hergibt..

hoffe das war verständlicher.... denke her nicht

24.02.2013, 17:08

Equester

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Ich gaube ich kann dir nun folgen.
Das Problem löst sich sehr leicht (hatte ich auch bereits erwähnt):

$\begin{eqnarray*} x²+25\neq (x+5)² \end{eqnarray*}$

Es gibt drei Möglichkeiten eine "Zählerfunktion (?)" mittels der Binomi umzuschreiben:

x²+10x+25=(x+5)² - 1. Binomi
x²-10x+25=(x-5)² - 2. Binomi
x²-25=(x-5)(x+5) - 3. Binomi

Für x²+25 gibt es (für dich) keine Möglichkeit das in seine Linearfaktoren aufzuspalten.

24.02.2013, 17:15

SgtHater

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ich wollte auch garnicht das aufspalten sonder wissen aus was (x-4)^2 aufgespalten wurde.. smile

smile

24.02.2013, 17:20

Equester

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Siehe zweiten Binomi:

Zitat:

x²-10x+25=(x-5)² - 2. Binomi

Du mussts nur auf dein Beispiel übertragen Augenzwinkern

Augenzwinkern

.

24.02.2013, 17:23

SgtHater

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ops.. übersehen sry unglücklich

unglücklich

also aus der zählerfunktion $\begin{eqnarray*} x^2- 4x+ 16 \end{eqnarray*}$ entstehen die linearfaktoren $\begin{eqnarray*} (x-4)^1 \end{eqnarray*}$ zweimal welche zusammengefasst $\begin{eqnarray*} (x-4)^2 \end{eqnarray*}$ ergeben und dort betragen dann die Nullstelen +4 die x-achse wird dort nur berührt.

24.02.2013, 17:25

Equester

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Du solltest zusätzliche 30 Sekunden für deine Rechnungen in Anspruch nehmen.
Dann wäre dir sicherlich aufgefallen, dass es
$\begin{eqnarray*} x^2- \color{red}8\color{black}x+ 16 \end{eqnarray*}$ lautet Augenzwinkern

Augenzwinkern

.

Sonst ist deine Ausführung aber richtig.

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