Parameterform und Richtungsvektoren in Ebene

19.02.2007, 10:19	Lyna	Auf diesen Beitrag antworten »
Parameterform und Richtungsvektoren in Ebene Hi Leute, ich bitte um eure Hilfe! Bei meiner Aufgabe geht es um die Ermittlung der Koordinatengleichung einer Ebene. Gegeben sind eine Gerade g und ein Punkt A, die beide auf der Ebene liegen. Ich habe schon verschieden Lösungsansätze mitbekommen. - Auf die Parameterform der Ebene kommen - Parameterform in Koordinatenform umwandeln - Normalenvektor bilden(Skalarprodukt/Kreuzpr.) Die Koordinatengleichung hat ja die Form n1x1+n2x2+n3x3=d Wenn ich den Normalenvektor also hätte, könnte ich die Koordinaten einfach in die Koordinatengleichung einsetzen. Was ist aber dann mit d? Irgentwer meint d sei frei wählbar, andere sagen d bestimmt man mit dem Skalarprodukt zwischen dem Stützvektor p und dem Normalenvektor n. ?? Die Geradengleichung heißt ja x = p(p1/p1/p3) + t(u1/u2/u3) (Stützvektor p) (Richtungsvektor u) Wenn man daraus die Parameterform für die Ebenengleichung bilden will, braucht man ja einen zweiten Spannvektor v. dann hätte man x = p(p1/p2/p3) + r(u1/u2/u3) + s*(v1/v2/v3) und könnte die Parameterform in die Koordinatenform umwandeln. Nun meine Frage: Wie bekomme ich den zweiten Spannvektor? Man könnte ihn ja als Verbindungsvektor bilden zweischen dem Sützpunkt P und dem Punkt A auf der Ebene. d.h. er ergibt sich als Vektor AP. also p(p1/p2/p3)- a(a1/a2/a3) = v(v1/v2/v3) oder doch als Vektor PA? a(a1/a2/a3) - p(p1/p2/p3) = v(v1/v2/v3) oder ist die Reihenfolge egal bei der Differenz??
19.02.2007, 10:21	riwe	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Parameterform und Richtungsvektoren in Ebene soweit alles und die reihenfolge AP oder PA ist volkommen egal, dazu hast du ja dann den parameter. werner
19.02.2007, 10:29	Lyna	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke!. und was ist mit der Sache mit d? ist das frei wählbar oder -- ?
19.02.2007, 10:41	riwe	Auf diesen Beitrag antworten »
nein! d bestimmst du, indem du 1 beliebigen punkt der ebene einsetzt - bei bekanntem normalenvektor. werner
19.02.2007, 10:57	Lyna	Auf diesen Beitrag antworten »
Also ich muss zuerst den 2. Richtungsvektor finden(Ortsvektor von A minus Stützvektor p oder umgekehrt) um zur Parametergleichung zu kommen!? dann den Normalenvektor finden mit den beiden Richtungsvektoren u und v (Skalarprodukt oder Kreuzprodukt) und dessen Koordinaten in die Koordinatengleichung einsetzen Dann für x1, x2 und x3 die Koordinaten von A einsetzen um d zu bekommen stimmt das?
19.02.2007, 11:46	riwe	Auf diesen Beitrag antworten »
werner
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19.02.2007, 12:08	Lyna	Auf diesen Beitrag antworten »
Oki..noch eine kleine Anmerkung am Rande; nehmen wir an: Ich habe einen Punkt A und einen Punkt P im 3d KS mit den Ortsvektoren a und p. der Punkt A läge sehr zentral, so eher nah beim Ursprung, und Punkt P weiter außen. Ich suche den Vektor v der quasi zwischen diesen beiden Punken liegt bzw vom A nach P verläuft. Wenn ich jetzt p - a rechne, erhalte ich v., also den Vektor von A nach P. Würde ich jetzt aber a - p rechnen, wie man es scheinbar ja auch darf, erhielte ich doch -v, also den Vektor von P nach A !? Das würde ja heißen, es gäbe Vektoren ,die zum Ursprung hin zeigen anstatt davon weg, weil sie ja dann umgekehrt sind!? Das ist eine Kleinigkeit die mich noch ein bischen irritiert bei dieser Sache.Ist das ein Missverstehen meinerseits oder nur ein kleiner, aber gerechtfertigter Gedanklicher Stolperstein der Mathematik den ich sowiso getrost ignorieren kann, wenn ich durch Subtraktion einen Spannvektor haben will?
19.02.2007, 12:20	riwe	Auf diesen Beitrag antworten »
das stimmt so schon. die beiden vektoren sind linear abhängig $\begin{eqnarray} \overrightarrow{AP}=-\overrightarrow{PA} \end{eqnarray}$ gehen also (im konkreten fall) durch multiplikation mit -1 ineinander über. wenn du die geraden $\begin{eqnarray} \vec{x}=\vec{a}+t(\vec{p}-\vec{a})=0 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \vec{x}=\vec{a}+s(\vec{a}-\vec{p})=0 \end{eqnarray}$ betrachtest, so sind sie identisch, da immer $\begin{eqnarray} t = -s \end{eqnarray}$ gilt. darum habe ich oben geschrieben, dazu dient der parameter unklar genug am besten machst du dir deine überlegungen an einem konkreten beispiel klar. werner

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